Đề thi chọn HSG lớp 11 môn Toán cấp trường năm 2017 2018 trường Lê Văn Thịnh Bắc Ninh

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÊ VĂN THỊNH (Đề thi gồm có 1 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn thi: Toán Lớp 11 Ngày thi: 7/4/2018 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1 ( 1 điểm). Giải phương trình

3 cos2 sin 2 2cos 0 x x x   . Câu 2 ( 2 điểm).

a) Cho đa giác lồi n cạnh nội tiếp đường tròn, biết số tam giác lập được bằng 4 7 số tứ giác lập được

từ n đỉnh của đa giác đó. Tìm hệ số của 4x trong khai triển   3 2 n x  .

b) Tính tổng

0 1 2

1 2 3 1 2 2 2 2 ...

n n n n n n n n n n

C C C C S C C C C           ( * n ).

Câu 3 ( 1 điểm). Cho đồ thị  2 1 : 2 2 mx C y x

   và điểm M(2;5). Đường thẳng d đi qua M và tiếp xúc với

 C . Tìm m để đường thẳng d tạo với 2 tia Ox và Oy tam giác có diện tích lớn nhất. Câu 4 ( 1 điểm).

Biết   3 2 3 2 lim 2018 6 5 2019 0 n an bn n n        . Tính 2018 2019 1 a b  .

Câu 5 ( 2 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AD // BC), BC = 2a, AB = AD = DC = a (a > 0). Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SD vuông góc với AC. a) Chứng minh mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABCD). Tính độ dài đoạn thẳng SD. b) Mặt phẳng   đi qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O và D) và song song với đường

thẳng SD và AC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng  biết MD = x. Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất. Câu 6 ( 1 điểm). Cho tam giác ABC, điểm K nằm trên cạnh BC sao cho KB = 2KC và   2 KAB KAC  ,

điểm 3 3 3; 2 E         là trung điểm cạnh BC, điểm M 3 3 3 ; 2 2

        là hình chiếu của B lên đường thẳng AK.

Biết rằng A nằm trên đường thẳng : 5 d y x  và điểm (0;5) I thuộc đường thẳng chứa cạnh AC. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC. Câu 7 ( 1 điểm). Giải hệ phương trình

   

3 2 3 2

2 2 2 7 18 18 2 3

2 3 9 3 4 1 2 1 4 1 3

x x x y y y

x y y x x x y y x

                   .

Câu 8 ( 1 điểm). Cho , , 0 x y z  và 3 x y z   . Chứng minh rằng:

2 2 2 3 1 1 1 4 x y z x x yz y y zx z z xy          .

---------- HẾT ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÊ VĂN THỊNH

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn thi: …LỚP …. Câu Đáp án Điểm 1 (1 điểm)

1

3 cos2 sin 2 2cos 0

cos 2 cos 6

x x x

x x 

  

        

0,5

2 6 2 18 3

x k

x k

 

 

      

  k  0,5

2 ( 2 điểm) 2a) 1

Từ giả thiết suy ra 3 4 4 10 7 n n C C n    0,5

Xét  

10 10 10 10 0 3 2 3 2 k k k k

k x C x 

   nên ta xét k = 4 thu được hệ số của 4x là

4 6 4 103 2 2449440 C 

0,5

2b)

1

Ta có      

    

2

1 2

1 1 1 1

1 2 1 2

k n k n

k n k n k k C C n n n n  

           nên

0,25

    

2 2 2 1 2 ... 1 1 (1 2 ... )

1 2

n n n n S n n

           

0,25

3 6 n  

0,5

3 ( 1 điểm)

1

Giả sử d: y ax b   . Đường thẳng d cắt 2 tia Ox và Oy lần lượt tại A và B nên 0 a  .

d đi qua M(2;5) nên b = 5 - 2a.

0,25

d tiếp xúc với  2 1 : 2 2 mx C y x    khi và chỉ khi    2 1 2 2 mx ax b x    có nghiệm kép

0,25