Đề KSCL đội tuyển HSG lớp 11 môn Toán năm 2017 2018 trường Minh Châu Hưng Yên

SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT MINH CHÂU

ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11 MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 2017-2018 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình

2 3 cos 2 cos2 0 4 x x   

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình

2 sin 1 2(1 cos )(1 cot ) . sin cos x x x x x     

Câu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số 3 2 3 1 y x x = - + có đồ thị ( ). C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ

thị ( ), C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 9 0. x y D + =

Câu 4 (1,0 điểm). Tính giới hạn:

        

5 3 2

3 2 1 5 2 6 4 lim 1 x x x x x I x x x

Câu 5 (1,0 điểm). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 3 5 n n n C C  . Tìm hệ số của số hạng chứa 8x

trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

2 1 , 0 14

n nx x x         .

Câu 6 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình     2

2 2 4 1 3 5 2 0

4 2 3 4 7

x x y y

x y x

           

Câu 7 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm

ABM  ; điểm D(7; -2) nằm trên đoạn MC sao cho GA = GD. Viết phương trình đường thẳng AB, biết hoành độ của A nhỏ hơn 4 và AG có phương trình 3 13 0 x y    .

Câu 8 (2,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AD // BC), BC = 2a, AB = AD = DC = a (a > 0). Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SD vuông góc với AC. a) Chứng minh mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABCD). Tính độ dài đoạn thẳng SD. b) Mặt phẳng   đi qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O và D) và song song với đường thẳng SD và AC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng  biết MD = x. Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.

Câu 9 (1,0 điểm). Cho dãy số ( ) n u xác định bởi:

1 1; u   

 

1 * 2 2 2 1 2 , . 1 1

n n n u n u n n n n

          Tìm công thức số hạng tổng quát n u theo n.

---------- HẾT ----------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….; Số báo danh…………………… SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT MINH CHÂU

ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11 MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 2017-2018

Đáp án gồm: 06 trang

I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm 1 (1,0 điểm)



1 cos2 2 3 cos2 2

x PT

x L

      

0,5

2 2 , 3 6 x k x k k            0,5

2 (1,0 điểm) ĐK: sin 0 , . sin cos 0 4

x k x k x x x k

  

              



2 1 sin 1 2(1 cos ).sin sin cos x Pt x x x x     

0,25

2 sin 1 sin cos sin .cos 1 0 1 cos sin cos x x x x x x x x          0,25

Đặt sin cos 2 sin( ), 2 2, 4 t x x x t        Phương trình trở thành:

2 1 1 0 1. 2 t t t      0,25

Với 1, t  ta có

2 2 ( ) 1 4 4 sin( ) . 2 5 4 2 2 ( ) 2 4 4

x k x k tm x x k l x k

          

                     

Vậy phương trình có họ nghiệm 2 . 2 x k    

0,25

3 (1,0 điểm) Đạo hàm 2 ' 3 6 . y x x = -

Gọi 3 2 ( ; 3 1) ( ). M a a a C - + Î Phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại M là

3 2 '( )( ) 3 1. y f a x a a a = - + - +

0,25

Tiếp tuyến vuông góc với đường 9 0 x y + = nên 0,25