Đề thi HSG lớp 11 môn Toán cấp trường năm 2018 – 2019 trường Thuận Thành 2 – Bắc Ninh

Câu I (4,0 điểm).

1.Giải phương trình 2 2 2cos 2 3 cos4 4cos 1 4 x x x           

2.Cho các số 5 ;5 2 ;8 x y x y x y    theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số

 

2 2 ( 1) ; 1; 2 y xy x    theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm ,x y .

Câu II (5,0 điểm).

1. Tính tổng 2 3 4 n n n n n S 2.1C 3.2C 4.3C ... n(n 1)C       2.Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau. Tính xác suất để chọn được một số có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ.

Câu III (5,0 điểm).

1. Tìm

2

2 lim

4 3 2

n n n

n n n

 

 

2. Giải hệ phương trình

2 2 4 8 17 1

21 1 2 4 3

x x x y y

x y y y x

       

     

Câu IV(2,0 điểm).

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 4), B(1; 2), đỉnh C thuộc đường thẳng : 2 1 0 d x y    , trọng tâm G. Biết diện tích tam giác GAB bằng 3 đơn vị diện tích, hãy tìm tọa độ đỉnh C.

Câu V (4,0 điểm).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn 2 BC a  đáy bé AD a  , AB b  . Mặt bên SAD là tam giác đều. M là một điểm di động trên AB, Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với SA, BC.

1. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi  mp P . Thiết diện là hình gì?

2. Tính diện tích thiết diện theo a, b và   , 0 . x AM x b    Tìm x theo b để diện tích thiết diện lớn nhất

-----------------Hết-----------------

Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:........................................................................................

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:........................................................................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: Toán – Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Huớng dẫn chấm Câu Nội dung Điểm Câu I. 1 2 2 2cos 2 3 cos4 4cos 1 4 x x x           

PT  1 2 cos 1 2 4 cos 3 4 6 cos 1             x x x 

x x x 2 cos 2 4 cos 3 4 sin   

0.5

x x 2 cos 6 4 cos           0.5

   





  

    

 

 

2 2 6 4

2 2 6 4

k x x

k x x

  Z k k x

k x



   





 

  

 

 

12

3 36

1.0

2  5 ;5 2 ;8 x y x y x y    theo thứ tự lập thành CSC nên ta có:   

5 8 2 5 2

2 1

x y x y x y

x y

    

 

0.5

     2 2 1 ; 1; 2 y xy x    theo thứ tụ lập thành CSN nên ta có:

     2 2 2 1 2 1 2 y x xy    

0.5

 Thay (1) vào (2) ta đc:

    

 

2 2 2 2

4 2 4 2

2

1 2 2 2 1

4 2 1 4 4 1

3 3 3 2 4 3 3 2

y y y

y y y y

y x y

y x

   

     

         

    

1.0

Câu II 1 2 3 4 n n n n n S 2.1C 3.2C 4.3C ... n(n 1)C      

Số hạng tổng quát: 1.0

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP

TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: Toán – Lớp 11

ĐỀ CHÍNH THỨC

     

       

    2 2

! 1 1 ! !

1 2 !

2 ! 2 ! 2 !

1 2

k k n

k n

n u k k C k k k n k

n n n

k n k

n n C k n  

    

  

           

   0 1 2 2 2 2 1 ... n n n n S n n C C C          1.0

 

2 1 2n n n    0.5

2. Số phần tử của không gian mẫu: 6 5 10 9 136080 n A A   

0.5

*Số các số tự nhiên có 6 chữ số có3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ là TH1: (số tạo thành không chứa số 0)  Lấy ra 3 số chẵn có: 3 4 C

 Lấy ra 3 số lẻ có: 3 5 C

 Số các hoán vị của 6 số trên: 6!

Suy ra số các số tạo thành: 3 3 4 5 . .6! 28800 C C 

0.5

TH2: ( số tạo thành có số 0)  Lấy ra hai số chẵn khác 0: 2 4 C

 Lấy ra 3 số lẻ: 3 5 C

 Số các hoán vị không có số ) đứng đầu: 6! 5! 5.5!   Số các số tạo thành: 2 3 4 5 . .5.5! 36000 C C 

0.5

Gọi biến cố A: “số đuợc chọn có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ” Suy ra : 28800 36000 64800 A n   

Xác suất xảy ra biến cố A: 64800 10 136080 21

A A

n P n   

1

Câu III 1    

 …