Đề thi HSG lớp 11 môn Toán năm 2018 2019 trường Phùng Khắc Khoan Hà Nội

Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội

Trường Phùng Khắc Khoan

*** ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn : Toán- Khối: 11 Năm học 2018-2019 Thời gian: 150 phút ( Đề có 01 trang) =============================================== Câu 1 ( 4 điểm)

1 - Tính tổng các nghiệm của phương trình trên .

2 - Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một

cấp số nhân:   3 2 2 7 2 6 8 0. x x m m x    

Câu 2 ( 6 điểm)

1 - Cho n là số dương thỏa mãn 1 3 5 . n n n C C 

Tìm số hạng chứa

5x trong khai triển nhị thức Newton

2 1 14

n nx P x        

.

2 - Một tổ gồm 9 em, trong đó có 3 nữ được chia thành 3 nhóm đều nhau. Tính xác xuất để mỗi nhóm có một nữ. 3 - An và Bình thi đấu với nhau một trận bóng bàn có tối đa 5 séc , người nào thắng trước 3 séc sẽ

giành chiến thắng chung cuộc. Xác suất An thắng mỗi séc là 0,4 (không có hòa). Tính xác suất để An thắng chung cuộc . Câu 3 ( 4 điểm)

1-Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm     2;3 , 1;5 A A  và     5; 3 , 7; 2 B B   . Phép quay tâm

  ; I x y biến A thành A và B thành B, tính x y  .

2- Cho đường tròn   ; O R đường kính AB . Một đường tròn   O tiếp xúc với đường tròn  O và

đoạn AB lần lượt tại C và D . Đường thẳng CD cắt   ; O R tại I . Tính độ dài đoạn AI .

Câu4 (4điểm)

Cho hình chóp .S ABC, M là một điểm nằm trong tam giác ABC . Các đường thẳng qua M song

song với , , SA SB SC cắt các mặt phẳng     , , SBC SAC SAB lần lượt tại , , A B C   .

a) Chứng minh rằng

.

b) Chứng minh rằng

khi M di động trong tam giác ABC

c) Tìm vị trí của M trong tam giác ABC để . . MA MB MC SA SB SC   

đạt giá trị lớn nhất.

Câu5 (2điểm) Cho a, b, c là ba hằng số và ( ) nu là dãy số được xác định bởi công thức:

1 2 3 ( *). nu a n b n c n n       Chứng minh rằng lim 0 n n u   khi và chỉ khi 0. a b c   

-------------------------------------------HẾT-----------------------------------------

sin cos cos sin 1 x x x x      0;2

ĐÁP ÁN Thi học sinh giỏi cấp trường MÔN TOÁN

LỚP 11 ( 2018- 2019)

Câu 1 Nội dung

Tính tổng các nghiệm của phương trình trên

Thang điểm

2

điểm

(3)

Đặt

Với

Suy ra phương trình có 3 nghiệm trên là

Vậy tổng 3 nghiệm là

1,0

1,0

2 - Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp

số nhân:   3 2 2 7 2 6 8 0. x x m m x    

2

điểm

+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt 1 2 3 , , x x x lập thành một cấp số nhân.Theo định lý Vi-ét, ta có 1 2 3 8. x x x 

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có 2 1 3 2 x x x  . Suy ra ta có 3 2 2 8 2. x x   

+ Điều kiện đủ: Với 1 m  và 7 m  thì 2 6 7 m m   nên ta có phương trình

3 2 7 14 8 0. x x x     Giải phương trình này, ta được các nghiệm là 1,2,4. Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một

cấp số nhân với công bôị 2. q 

Vậy, 1 m  và 7 m  là các giá trị cần tìm.

1,0

1,0

sin cos cos sin 1 x x x x      0;2

sin cos cos sin 1 x x x x   

sin cos 2 sin 0; 2 . 4 t x x x t                

 

2 2 2 2 1 1 1 1 2sin cos sin cos 3 1 2 3 0 3 2 2

t t t t x x x x t t t t l

              

2 sin 4 2 1: 2 sin 1 4 2 sin 4 2

x t x

x

 



                               

2 2 4 4

2 2 4 4 2

2 2 4 4 2

2 2 4 4

x k x k

x k x k

x k x k

x k x k

         

    

     

                                      

  0;2 3 ; ; 2 2 x x x      

3 3 . 2 2       