Đề thi Olympic lớp 11 môn Toán năm 2018 – 2019 trường THPT Kim Liên – Hà Nội

Câu 1(3,0 ). : 5 5 2 2cos .sin 2sin .cos sin 4 . x x x x x

Câu 2 (2,0 ).

2

2 6. 3 x x x x

Câu 3 (4,0 ). Cho (0;1) a và ( ) n u xác :

1

3 3 1

1 ( ) : 1 n

n n

u u u au a

* , . n

a) ( ) nv

3 1 n n v u ( ) nv

nhân

b) a

3 3 3 1 2 lim( ... ) 4 n u u u n .

Câu 4 (3.0 ). 25

ó 6 5

,

Toán Anh.

Câu 5 (6.0 ). Cho ABCD.A’B’C’D’ I

AB, E DD’ sao cho ' ,(0 1) AI D E x x .

IE ' A C .

b) Tìm x ' AC và DI 0 60 .

, M N , ' '. AB A D K

( ) CMN ' ' B C ' . ' ' B K B C

Câu 6 (2.0 ). , , a b c 2 2 2 3 0 a b c b .

2 2 2 1 4 8 1. 1 2 3 a b c

------------- -------------

c s d ng tài li i thích gì thêm.

H và tên thí sinh: ………………………....................................................….SBD: ...............................

– 2019

Môn: TOÁN - 11

: 150 phút

1

TRƯỜNG THPT KIM LI£N

ĐÁP ÁN ĐỀ OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11

NĂM HỌC 2018 – 2019 C¢U NỘI DUNG ĐIỂM

1 (3 điểm)

5 5 2

2 2 2 2 2

2 2

2cos .sin 2sin .cos sin 4

2cos .sin (cos sin )(cos sin ) sin 4 1 sin 2 .cos2 sin 4 sin 4 sin 4 2

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

 

   

   

1,5

4 4 sin 4 0 4 2 , . 1 6 24 2 sin 4 2 5 5 4 2 24 2 6

x k x k x x k x k k x

x k x k

     

   

                                    

1,5

2 (2 điểm)

Điều kiện xác định: 0; 9. x x  

2 2 2 2 6 2(3 ) 2. 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x x                    

1,0

2 2 6 3 8 2 7. 3 1 3

x x x x x x x x x

                   

1,0

3 (4,0 điểm)

a) Ta có          3 3 3 3 1 1 1 1 1 n n n n u au a u a u . Suy ra 1 . n n v av  1,0

Như vậy dãy số  nv là cấp số nhân với công bội a nên nó là cấp số nhân lùi vô hạn. 1,0

b) Ta được         1 2 2 1 ... 1

n

n a v v v a

         

3 3 3 1 2 2 1 ... 1

n

n a u u u n a

       3 3 3 1 2 lim ... 4 n u u u n      

2 1 lim 4 1

n a

a

1,0

Vì   0 1 a nên   2 1 2 2 1 lim 4 . 1 1 1 2

n a a a a a

         1,0

4 (3,0 điểm)

T là phép thử ‘Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong số 25 học sinh’. Ta có : 3 25. C 

Gọi A là biến cố : 3 học sinh được chọn luôn có học sinh dự thi môn Toán và học sinh dự thi

môn Anh. Ta có các trường hợp sau thuận lợi cho biến cố A :

0,5

 Có 1 học sinh chọn môn Toán, 2 học sinh chọn môn Anh có : 1 2 6 5 . C C khả năng

 Có 2 học sinh chọn môn Toán, 1 học sinh chọn môn Anh có : 2 1 6 5 . C C khả năng

 Có 1 học sinh chọn môn Toán, 1 học sinh chọn môn Anh, 1 học sinh chọn môn khác

(Văn, Tin, Sinh học, Lịch sử, Vật Lí, Hóa, Địa lý) có : 1 1 1 6 5 14 . C C C khả năng.

2,0

1 2 2 1 1 1 1 6 5 6 5 6 5 14 . . A C C C C C C C     Vậy xác suất của biến cố A là 555 111 ( ) . 2300 460

A P A      0,5

2

5 (6,0 điểm)

Đặt ' ' ; ' ' ; ' . A B a A D b A A c   

a) Ta có: ' . A C a b c   

Lại có: IE IA AD DE   

(1 ) . xa b x c   

Xét:

  

2 2 2 ' . . (1 )

(1 ) 1 (1 ) 0.

A C IE a b c xa b x c

xa b x c x x

      

      

Suy ra ' . A C IE 

F N

M

A'

A

B'

B

D'

D

C'

C

K

M'

I

E

3.0

b) Ta có: 0

2 . ' ( )( ') 1 cos60 . ' . ' 1 . 3

DI AC DA AI AD AB AA x

DI AC DI AC x

       

.

Suy ra: 2

2 1 1 8 1 0 4 15. 2 1 . 3

x x x x x

        

1,5

c) Gọi M’ là trung điểm cạnh A’B’. Trong ( ' ' ' ') : A B C D kẻ đường thẳng đi qua N và song song với ' ' C M cắt đường thẳng

' ' B C tại . K Khi đó K là giao điểm của mặt phẳng ( ) CMN với đường thẳng ' '. B C

Áp dụng định lí Ta-lét ta tính được: ' 5. ' ' 2 B K B C 

1,5

6 (2 điểm)

Đặt

      2 2 2 1 4 8

1 2 3 P a b c      

.

Ta thấy:       2 2 2 2 2 2 2 4 2 6 1 2 1 0 a b c a b c a b c              , theo giả thiết

thì 2 2 2 3 a b c b    . Suy ra 3 2 4 2 6 0 b a b c      hay 2 2 10 16 a b c     .

0,5

Với hai số , 0 x y  ta có:

2 2 2 2 2 2 2

2 2 ( )( ) 8 . ( ) 4

x y xy x y x y x y x y xy

           

Do đó:

 

2 2 2 1 1 8 (1) x y x y   

Áp dụng (1) ta có:

    2 2 2 1 4 …