Đề Olympic lớp 11 môn Toán năm 2019 cụm THPT Thanh Xuân Cầu Giấy Thường Tín – Hà Nội

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN-

CẦU GIẤY-THƯỜNG TÍN

ĐỀ OLYMPIC MÔN TOÁN 11

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn: Toán Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1. Giải các phương trình sau:

1) 1 3sin 2 cos2 x x   .

2) 9sin 6cos 3sin2 cos2 8 x x x x     . Câu 2. 1) Hoa có 11 bì thư và 7 tem thư khác nhau. Hoa cần gửi thư cho 4 người bạn, mỗi người 1 thư. Hỏi Hoa có bao nhiêu cách chọn ra 4 bì thư và 4 tem thư, sau đó dán mỗi tem thư lên mỗi bì thư để gửi đi? 2) Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 5 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó

có 1 phương án trả lời đúng, 3 phương án sai. Tính xác suất để một học sinh làm bài thi trả lời đúng được ít nhất 3 câu hỏi?

Câu 3. Tìm hệ số của số hạng chứa 10 x trong khai triển Niutơn của biểu thức   2 3 n x  biết n là số

nguyên dương thỏa mãn hệ thức 1 2 20 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 n n n n C C C        .

Câu 4. 1) Tính giới hạn sau

2 3

1 7 5 lim 1 x x x x      .

2) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng tam giác đó có 2 góc trong mà số đo không vượt quá

0 60 . Câu 5. Cho tứ diện ABCD. 1) Gọi , , E F G lần lượt là trọng tâm các tam giác , , ABC ACD ABD .

a) Chứng minh     / / EFG BCD .

b) Tính diện tích tam giác EFG theo diện tích của tam giác BCD.

2) M là điểm thuộc miền trong của tam giác BCD. Kẻqua M đường thẳng // d AB .

a) Xác định giao điểm B của đường thẳng d và mặt phẳng   ACD .

b) Kẻ qua M các đường thẳng lần lượt song song với AC và AD cắt các mặt phẳng

   , ABD ABC theo thứ tự tại , C D  . Chứng minh rằng: 1 MB MC MD AB AC AD      .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức AB AC AD T MB MC MD       .

----------------HẾT-----------------  Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.  Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………………………………………… Số báo danh:…………………………………………………………

2

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Giải các phương trình sau:

1) 1 3sin 2 cos2 x x  

2) 9sin 6cos 3sin2 cos2 8 x x x x    

Lời giải

1) 1 3sin 2 cos2 x x   3sin 2 cos2 1 x x   

3 1 1 sin 2 cos2 2 2 2 x x    1 cos sin 2 sin cos2 6 6 2 x x     

2 2 1 6 6 sin 2 sin 6 2 6 2 2 6 6

x k x x k

        

                            

2 3

x k

x k

  

     

.

2) 9sin 6cos 3sin2 cos2 8 x x x x        6cos 3sin 2 cos2 9sin 8 0 x x x x      

   2 6cos 6sin cos 1 2sin 9sin 8 0 x x x x x       

   2 6cos . 1 sin 2sin 9sin 7 0 x x x x      

    6cos . 1 sin 2sin 7 sin 1 0 x x x x          sin 1 6cos 2sin 7 0 x x x      



sin 1 2 2 6cos 2sin 7 *

x x k

x x

          

Phương trình  * vô nghiệm vì có 2 2 2 40 49 a b c     .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 2 2 x k     .

Câu 2. 1) Hoa có 11 bì thư và 7 tem thư khác nhau. Hoa cần gửi thư cho 4 người bạn, mỗi người 1 thư. Hỏi Hoa có bao nhiêu cách chọn ra 4 bì thư và 4 tem thư, sau đó dán mỗi tem thư lên mỗi bì thư để gửi đi? 2) Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 5 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó có 1 phương án trả lời đúng, 3 phương án sai. Tính xác suất để một học sinh làm bài thi trả lời đúng được ít nhất 3 câu hỏi?

Lời giải 1) Chọn 4 bì thư từ 11 bì thư có 4 11 C cách.

Chọn 4 tem thư từ 7 tem thư có 4 7 C cách. Dán 4 tem thư và 4 bì thư vừa chọn có: 4! cách. Gửi 4 bì thư đã dán 4 tem thư cho 4 người bạn có: 4! Cách. Vậy có tất cả: 4 4 11 7 . .4!.4! 6652800 C C  cách.

2) Xác suất để một học sinh trả lời đúng 1 câu là 1 4 , trả lời sai 1 câu là 3 4 .

Xác suất để một học sinh trả lời đúng đúng 3 câu là:

3 2 3 5 1 3 45 . 4 4 1024 C         

.