Đề thi HSG lớp 11 môn Toán năm 2019 cụm trường THPT chuyên DH ĐB Bắc Bộ

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XII, NĂM 2019 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC 11 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20/4/2019

Câu 1 (4 điểm). Cho dãy số  1 ) ( n n u bị chặn trên và thoả mãn điều kiện

2 1 2 3 . . , 5 5 n n n u u u     1, 2, 3,... n  

Chứng minh rẳng dãy   n u có giới hạn hữu hạn.

Câu 2 (4 điểm). Cho ABC  có đường tròn nội tiếp  I tiếp xúc với , , BC CA AB ở , , . D E F

Đường thẳng qua A song song BC cắt , DE DF lần lượt tại , . M N Đường tròn ngoại tiếp tam giác

DMN cắt đường tròn I tại điểm L khác . D

a) Chứng minh , , A K L thẳng hàng.

b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tại , M N cắt EF tại , . U V Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác . DMN

Câu 3 (4 điểm). Tìm tất cả các đa thức sao cho với mọi số nguyên dương, phương

trình có nghiệm nguyên.

Câu 4 (4 điểm). Cho p là số nguyên tố có dạng 12 11 k  . Một tập con S của tập

{1; 2; 3; ; 2; 1} M p p    

được gọi là “tốt” nếu như tích của tất cả các phần tử của S không nhỏ hơn tích của tất cả các phần

tử của \ . M S Ký hiệu S  hiệu của hai tích trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của số dư khi chia S  cho p

xét trên mọi tập con tốt của M có chứa đúng 1 2 p  phần tử.

Câu 5 (4 điểm). Cho đa giác lồi n đỉnh   0 1 1 ... 2 . n A A A n   Mỗi cạnh và đường chéo của đa giác

được tô bởi một trong k màu sao cho không có hai đoạn thẳng nào cùng xuất phát từ một đỉnh cùng

màu. Tìm giá trị nhỏ nhất của k.

-------------- HẾT -------------- (Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh: ...................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN Câu Nội dung trình bày Điểm 1 Đề xuất của trường THPT chuyên Biên Hòa, Hà Nam

Cho dãy số  1 ) ( n n u bị chặn trên và thoả mãn điều kiện

2 1 2 3 . . , 5 5 n n n u u u     1, 2, 3,... n  

Chứng minh rẳng dãy   n u có giới hạn hữu hạn.

4,0

Ta có n n n u u u 5 3 5 2

1 2      2 1 1 3 3 , 5 5 n n n n u u u u       1,2,3,... n  (1)

Đặt nv 1 3 , 5 n n u u    1,2,3,... n  thì từ (1) ta có n n v v  1 , 1,2,3,... n  (2)

1,0

Vì dãy số  1 ) ( n n u bị chặn trên nên tồn tại số M sao cho , n u M  1,2,3,... n  suy ra

3 8 , 5 5 nv M M M    1,2,3,... n  (3)

Từ (2) và (3) ta thấy dãy ) ( nv không giảm và bị chặn trên. Do đó, nó là dãy hội tụ.

0,5

Đặt a vn  lim và 8 5a b  . Ta sẽ chứng minh . lim b un 

Thật vậy, vì a vn  lim nên 0   nhỏ tùy ý, * 0 N n   sao cho , 5 nv a    0. n n 

Khi đó, nhờ có đánh giá

1 1 1 3 3 3 8 ( ) ( ) , 5 5 5 5 5 n n n n n n b u b u b u b u b u u 

             

ta thu được

1 3 , 5 5 n n u b u b 

    0 n n  

1,0

Từ sự kiện này ta suy ra

0 0 1 3 ; 5 5 n n u b u b 

   

0 0 0

2

2 1 3 3 3. ; 5 5 5 5 5 n n u u b u b u b                   

..........

0 0

1 2 3 3 3 3 .... 1 . 5 5 5 5 5

k k k

n k u u b u b   

                                  

hay

1,0