Đề giao lưu HSG tỉnh lớp 11 môn Toán năm 2019 2020 trường Bá Thước Thanh Hóa

1

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN CỤM TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG

ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 11- LẦN 2

NĂM HỌC 2019-2020

Môn thi: Toán Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. (6,0 điểm).

a. Giải phương trình 1 3 4 cos sin x x  

b. Giải phương trình 1 1 1 ( ). x x x x x     

Câu 2. (4,0 điểm).

a. Cho đa giác đều có 60 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 cạnh là đường chéo của đa giác đó?

b. Cho khai triển 2 2 2 4 0 1 2 4 ( 1) ( 1) ... , n n n n x x a a x a x a x         với n là số tự nhiên, 1 n . Tìm

n biết 1 2 3 , , a a a lập thành một cấp số cộng.

Câu 3. (2,0 điểm). Cho dãy số ( ) n u thỏa mãn

1 2 1 2

2 , , 2. ... . n n

u n n u u u n u

            Tìm công thức số

hạng tổng quát n u và tính tổng 1 2 2020 ... . S u u u    

Câu 4. (2,0 điểm). Trong hệ tọa độ , Oxy cho tam giác ABC vuông tại (2;5) A và H là hình chiếu vuông

góc của A lên cạnh . BC Gọi ,I (2; 1) J  và (6;1) K lần lượt là tâm đường nội tiếp của tam giác

, , . ABC ABH ACH Chứng minh I là trực tâm của tam giác AJK và tìm tọa độ các đỉnh , . B C

Câu 5. (4,0 điểm). Cho tứ diện đều ABCD có trọng tâm , G cạnh ; AB a  O là tâm của tam giác BCD và

M là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng ( ) BCD . Gọi , , H K L lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các mặt

phẳng ( ),( ),( ) ACD ABD ABC .

a. Mặt phẳng ( ) P bất kỳ đi qua trọng tâm , G cắt các cạnh , , AB AC AD lần lượt tại ', ', '. B C D Chứng

minh 4 ' ' ' AB AC AD AB AC AD    .

b. Chứng minh đường thẳng GM luôn đi qua trọng tâm E của tam giác . HKL

Câu 6. (2,0 điểm). Cho , , 0 x y z  thỏa mãn 1 x y z   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 P x y y z z x   

---------- Hết --------

ULưu ýU. Thí sinh không được phép sử dụng máy tính bỏ túi. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

2

ĐÁP ÁN ĐỀ THI KSCL HSG TOÁN LỚP 11 LẦN 2- CỤM THANH CHƯƠNG- NĂM 2020

Câu Nội dung Điểm 1.a (3 đ) Điều kiện: cos 0,sin 0 . 2 k x x x      0.5

PT sin 3 cos 4 sin .cos x x x x   1

sin 2 sin( ) 3 x x     1

2 2 2 ; , . 3 9 3 k x k x k           0.5

1.b (3 đ) ĐK: 1 1 0;1 0; 0 1 0; 1 x x x x x x         0.5

C1 (Bình phương): 1 1 1 x x x x     . Nếu 1 0 x   thì PT vô nghiệm.

Nếu 1 x  thì 2 1 1 1 2 1 1 x x x x x x     

1

2 2 2 1 5 1 5 ( ) 2 1 0 1 0 ( ), (T/ m) 2 2 x x x x x x x Loai x               

1.5

C2 : (Đặt 2 ẩn phụ chuyển về HPT) ĐK PT có nghiệm 1. x  Đặt 1 1 , 1 a x b x x    

2 2 1 1 ( 1 ) 1 1 2

a b x a b x a x x a b x x a b x

                           

2 1 1 1 5 1 5 ( ) 2 1 0 1 0 (Loai); ( ) 2 2 x x x x x x Tm x x              

C3 : (Đánh giá theo BĐT Cauchy) ĐK có nghiệm 1. x  BĐT , , 0. 2 a b ab a b    

1 1 1 1 1 1 1 1( ) ; 1 .( 1) 2 2

x x x x x x x x x

         

1 1 1 1

2 2

x x x x VT x VP         

Phương trình tương đương với dấu bằng xảy ra 1 1 1 5 1 ; 1, 1 2 x x x x x x        

2.a (2 đ)

C1 : Chọn 1 đỉnh A có 60 cách, giả sử chọn thêm 2 đỉnh B, C thỏa mãn, hay AB, BC, CA là đường chéo

của đa giác do đó giữa cung  , , AB BC CA luôn có ít nhất 1 đỉnh của đa giác.

0.5

Giả sử , , x y z là số đỉnh của đa giác nằm trên cung  , , AB CA BC , trong đó , , ; , , 1 x y z x y z   

0.5

Bài toán trở thành tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình 57 x y z   

57 1 .. 1 1 .. 1 1 .. 1

x y z           (có 56 dấu + )

0.5

Do vai trò của 3 đỉnh như nhau nên có

2 2 56 56 60. 20 3

C C 

tam giác thỏa mãn.

0.5