Đề thi Olympic lớp 11 môn Toán năm học 2019 2020 cụm Sóc Sơn Mê Linh Hà Nội

1

TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 1

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2020-2021

Môn thi: TOÁN - Lớp 11 THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2 điểm). Cho  

2 2 : 2 m P y x mx m m     . Biết rằng   m P luôn cắt đường phân giác góc phần tư thứ nhất

tại hai điểm A , B . Gọi 1A , 1 B lần lượt là hình chiếu của A , B lên Ox , 2 A , 2 B lần lượt là hình chiếu của A , B

lên Oy . Tìm m để tam giác 1 2 OB B có diện tích gấp 4 lần diện tích tam giác 1 2 OA A .

Câu 2 (4 điểm).

1. Giải phương trình 2sin 2 cos2 7sin 4 3 1 2cos 3 x x x x      

.

2.Giải hệ phương trình   

    

3 2 2

2 2 2 2

4 4 1 5 4 1 1

2 3 3 6 7 1 1 3 2 2

y y y x y y x

x x x y x y x

                    

.

Câu 3 (4 điểm).

1. Chứng minh rằng           2 2 2 2 2 1 2 3 2021 2022 1011 2022 2022 2022 2022 2022 2022 ... 1 C C C C C C       .

2.Cho đa giác đều 1 2 2020 ... A A A nội tiếp đường tròn tâm O , chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh bất kỳ của đa giác đó. Tính

xác suất để nhận được một tứ giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác.

Hỏi gia đình anh A để tiết kiệm tiền thì nên chọn cơ sở nào để thuê, biết rằng hai cơ sở trên có chất lượng khoan là như nhau. Câu 5 (6 điểm). 1.Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo BD và AC vuông góc với

nhau tại H và 2 AD BC  . Gọi M là điểm nằm trên cạnh AB sao cho 3 AB AM  , N là trung điểm HC . Biết   1; 3 B   , đường thẳng HM đi qua điểm   2; 3 T  , đường thẳng DN có phương trình 2 2 0 x y    . Tìm

tọa độ các điểm A , C và D . 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, // , 2 AB CD AB CD  . Các cạnh bên có độ dài

bằng 1. Gọi O là giao điểm của AC và BD. I là trung điểm của SO. Mặt phẳng   thay đổi đi qua I và cắt

, , , SA SB SC SD lần lượt tại , , , M N P Q . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 T SM SN SP SQ     .

3. Cho hình lăng trụ tứ giác 1 1 1 1 . ABCD A BC D , mặt phẳng   thay đổi và song song với hai đáy của lăng trụ

lần lượt cắt các đoạn thẳng 1 1 1 1 , , , AB BC CD DA tại , , , M N P Q . Hãy xác định vị trí của mặt phẳng   để tứ

giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất. Câu 6 (2 điểm). 1. Cho , , a b c là các số thực dương thoả mãn 1 abc  . Chứng minh bất đẳng thức

3 3 3

2 2 2 2 2 2

9 2 ab bc ca a b c a b b c c a         

.

2. Giải phương trình     1 2020 1 2020 1 2021 1 2021 1 2021 1 2021 x x x x x x          .

---------- Hết ------------

Câu 4 (2 điểm). Nhà anh A muốn khoan một cái giếng sâu 20 mét dùng để lấy nước cho sinh hoạt gia đình. Có hai cơ sở khoan giếng tính chi phí như sau: Cơ sở I: Mét thứ nhất 200 nghìn đồng và kể từ mét thứ hai trở đi, giá của mỗi mét tăng thêm 60 nghìn đồng so với giá của mỗi mét trước đó.

Cơ sở II: Mét thứ nhất 10 nghìn đồng và kể từ mét thứ hai trở đi, giá của mỗi mét gấp 2 lần so với giá của mỗi mét trước đó.

2

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

(Gồm có 06 trang)

Câu NỘI DUNG Điểm I 2,0 điểm

Cho  

2 2 : 2 m P y x mx m m     . Biết rằng   m P luôn cắt đường phân giác góc phần tư

thứ nhất tại hai điểm A , B . Gọi 1A , 1 B lần lượt là hình chiếu của A , B lên Ox , 2 A , 2 B lần lượt là hình chiếu của A , B lên Oy . Tìm m để tam giác 1 2 OB B có diện tích gấp 4 lần

diện tích tam giác 1 2 OA A .

2,0

Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 2 1

x m x mx m m x x m

        

. 0,5

*TH1:

    1 ; ;0 A m m A m  ;   2 0; A m .

    1 1; 1 1;0 B m m B m     ;   2 0; 1 B m  .

Khi đó   1 2 1 2

2 2

1 1 1 4 1 4. . 1 2 2

3

OB B OA A

m S S m m

m

           

.

0,75

*TH2:

    1 ; ;0 B m m B m  ;   2 0; B m .

    1 1; 1 1;0 A m m A m     ;   2 0; 1 A m  .

Khi đó   1 2 1 2

2 2

2 1 1 4 4. 1 2 2 2

3

OB B OA A

m S S m m

m

           

.

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

0,75

II 4,0 điểm

1. Giải phương trình 2sin 2 cos2 7sin 4 3 1. 2cos 3 x x x x      …