Đề Olympic lớp 11 môn Toán năm 2020 2021 liên cụm trường THPT Hà Nội

1/1

Bài I ( 4 điểm).

1) Giải phương trình sin 3sin 1 2 x x          

.

2) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A. Biết độ dài các

đoạn thẳng , , BC AH AB theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân đó.

Bài II ( 4 điểm). Trong hộp có 25 tấm thẻ giống nhau được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 25. Rút

ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ trong hộp.

1) Có bao nhiêu cách để rút được ít nhất hai tấm thẻ mang số lẻ?

2) Tính xác suất để trong ba số ghi trên ba tấm thẻ rút được không có hai số nào là hai số tự nhiên

liên tiếp.

Bài III ( 3 điểm). Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của biểu thức

2 1 2 2

n P x x        

với 0 x  biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn: 2 2 1 3 5 0 n n A C   .

Bài IV ( 3 điểm). Cho dãy số   n u : 2 1

1

2

2 3

n n

u u

u 

   





. Xét dãy số   nv với 2 1 * n n u n v  .

1) Chứng minh rằng: Dãy số   nv là một cấp số nhân.

2) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số   n u .

3) Chứng minh rằng: 1 2 ... 1 n u u u n      với mọi số nguyên dương n.

Bài V ( 6 điểm). Cho hình hộp . ABCD A B C D . Gọi G là trọng tâm của tam giác A B C  và I là trung điểm của đoạn thẳng C D . Trên các đoạn thẳng AC và DC lần lượt lấy các điểm , E F

sao cho 2 1 , 3 3 AE AC DF DC   .

1) Chứng minh rằng:     // AC G A DI   và // EF BD.

2) Gọi   là mặt phẳng thay đổi và luôn đi qua trung điểm Q của đoạn thẳng AG . Mặt phẳng

  cắt các tia , , AA AB AC    lần lượt tại các điểm , , M N P ( không trùng với điểm A).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . . AB AC AM AN AP AA T     .

------- Hết ------- Họ và tên thí sinh:..................................................................... Số báo danh:....................................

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN – CẦU GIẤY

MÊ LINH – SÓC SƠN

ĐÔNG ANH

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2020 – 2021

MÔN TOÁN LỚP 11 Thời gian làm bài: 150 phút

( Đề thi gồm 01 trang ) ___________________________________

1/4

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI OLYMPIC LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT

NĂM HỌC 2020 - 2021 - MÔN TOÁN LỚP 11

*** Bài I. ( 4.0 điểm)

Câu Nội dung Điểm

1 (3.0 điểm)

sin 3sin 1 sin 3 cos 1 2 x x x x            

1.0

1 3 1 1 1 sin cos sin .cos sin .cos sin 2 2 2 3 3 2 3 2 x x x x x                  

1.0

2 2 3 6 6 5 2 2 3 6 2

x k x k

x k x k

    

    

                     

. 1.0

2 (1.0 điểm)

Giả sử: AB a  . Khi đó ta có: sin .sin sin AH B AH AB B a B AB     .

cos .cos cos 2 2 .cos BH B BH AB B a B BC BH a B AB        ( ABC  cân)

0.25

, , BC AH AB là cấp số nhân 2 2 2 2 . 2 .cos .sin BC AB AH a B a B     0.25

 2 cos 1 2 cos 2cos 1 0

cos 1 2

B L B B

B

       

0.25

Khi đó, công bội

2 1 1 1 1 2 2 2 sin 2 1 cos 2 2 2

AB q AH B B        

. 0.25

Bài II. ( 4.0 điểm)

Câu Nội dung Điểm

1 (3.0 điểm)

Từ 1 đến 25 có 13 số lẻ, 12 số chẵn. 0.75

TH1: Bốc 2 tấm thẻ mang số lẻ, 1 tấm mang số chẵn  Có

2 1 13 12 . 936 C C  cách 0.75

TH2: Bốc 3 thẻ mang số lẻ từ 13 thẻ  Có

3 13 286 C  cách 0.75

Vậy có 936 286 1222   cách bốc được ít nhất 2 thẻ mang số lẻ. 0.75

2 (1.0 điểm)

Bốc 3 thẻ ngẫu nhiên từ 25 thẻ 

3 25 2300 n C    . 0.25

:" A Bốc được 3 thẻ ghi 3 số trong đó không có 2 số nào là hai số tự nhiên liên tiếp" Gọi 3 số tự nhiên bốc được là ; ; a b c với 1 25 a b c     . Do không có 2 số nào là

hai số tự nhiên liên tiếp nên 1 1 2 23 a b c      .

0.25

Mỗi cách chọn bộ 3 số ; ; a b c thỏa mãn đề bài tương ứng với một cách chọn bộ 3 số

tự nhiên phân biệt ; 1; 2 a b c   từ tập   1;2;...;22;23 

3 23 1771 n A C   .

0.25

Xác suất để xảy ra biến cố A là:   

77 100 n A P A n    . 0.25