Đề học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2022 2023 trường THPT Phùng Khắc Khoan Hà Nội

Đề thi môn Toán Lớp 11 Trang 1/ 2 trang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN -

THẠCH THẤT

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

CÁC MÔN VĂN HÓA KHỐI 10, 11

NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ THI MÔN: TOÁN-LỚP 11 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi gồm 2 trang) Số báo danh:..................... Họ và tên .............................................................................

Câu 1 (2,5 điểm):

Giải phương trình cos2 1 (sin2 sin 1) 0 1 tan 2 x x x x + + − = +

Câu 2 (4,5 điểm):

a. Giải phương trình : ( )( )

2 1 4 3 5 2 6 x x x x + + − + + =

b. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn

5 3

2 2 , 0

n x x x   +     

biết n là số nguyên dương thỏa mãn:

2 2 1 2 3 . 4 n n C n P A + + =

Câu 3 (3,0 điểm):

Từ các chữ số 0,1,3,5,7,8 có thể lập được bao nhiêu số có tám chữ số mà trong đó

chữ số 8 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác xuất hiện đúng một lần?

Câu 4 (3,0 điểm):

a. Tính giới hạn

2 3

0

( 2023) 1 5 2023 lim

x

x x I x →

+ − − =

b. Cho dãy số ( ) n u xác định bởi: ( )

1 2

1 1

2022; 2023

2, 2

3

n n n

u u

n n u u u − +

= =     + = 

Tính giới hạn của dãy số ( ) n u

Câu 5 (5,0 điểm):

1. Cho tứ diện ABCD gọi ,I J lần lượt là trung điểm của , AC BC trên đoạn BD lấy

điểm K sao cho 2 BK KD = ; Gọi , E F lần lượt là giao điểm của CD và AD với mặt

phẳng ( ) IJK . Chứng minh rằng FK song song với IJ .

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề thi môn Toán Lớp 11 Trang 2/ 2 trang

2. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D biết

AD DC a = = , 2 AB a = ; SD b = . Trên đoạn AD lấy điểm M sao cho ( ) 0 AM x x a =   .

Mặt phẳng ( )  qua M song song với AB và SD cắt , , BC SB SA lần lượt tại , , N P Q .

a. Chứng minh rằng NP luôn song song với một mặt phẳng cố định

b. Khi MN vuông góc với MQ , tìm x để tứ giác MNPQ có diện tích lớn nhất.

Câu 6 (2,0 điểm):

Cho các số thực không âm , , a b c thỏa mãn

2 2 2 3 0 a b c b + + −  .

Chứng minh rằng: 2 2 2 1 4 8 1 ( 1) ( 2) ( 3) a b c + +  + + +

------------- HẾT -------------

(Thí sinh không dùng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Đề thi môn Toán Lớp 11 Trang 1/ 6 trang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC

KHOAN - THẠCH THẤT

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG CÁC MÔN VĂN HÓA KHỐI 10, 11

NĂM HỌC 2022-2023 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN: TOÁN. LỚP 11 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian

giao đề

Câ u

Nội dung Điể m

1 Giải phương trình sau: cos2 1 (sin2 sin 1) 0 1 tan 2 x x x x + + − = +

2.5

ĐK: cos 0 2 ( ) tan 1

4

x k x k x x k

 

 

   +          −  − +    

0.5

2 2

2

2

cos2 1 (sin2 sin 1) 0 1 tan 2 2(cos sin )cos (sin2 sin 1) 0 cos sin 2cos 2sin cos 2sin cos sin 1 0

2sin sin 1 0

x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x

+ + − = +

−  + + − = +  − + + −=

− + + =

1.0

sin 1 2 2

2 1 6 sin 7 2 2 6

x x k

x k x

x k

 

 

 

 =  = +  

   = − +   = −  

  = +    

0.5

Kết hợp đk pt có nghiệm: 2 6 x k   = − + , 7 2 ( ) 6 x k k   = +  0.5

2.a a. Giải phương trình : ( )( )

2 1 4 3 5 2 6 x x x x + + − + + = 2.0

( )( )

2 2 2 1 4 3 5 2 6 5 2 3 5 2 4 0 x x x x x x x x + + − + + =  + + − + + − =

0.5

Đặt 2 5 2 ( 0) t x x t = + + 

Ta được pt: 2 1( ) 3 4 0 4 ( ) t L t t t TM = −  − − = = 

0.5