Đề thi chọn HSG lớp 11 môn Toán năm 2022 2023 sở GD ĐT Quảng Bình

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2022-2023

VÀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG

QUỐC GIA NĂM HỌC 2023-2024

Khóa ngày 04 tháng 4 năm 2023

Môn thi: TOÁN

SỐ BÁO DANH:……………

BÀI THI THỨ NHẤT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề gồm có 01 trang và 04 câu

Câu 1 (2,5 điểm):

a. Giải phương trình: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos 2 4 x x x          

.

b. Giải hệ phương trình:    

2 2

2 2

1 2 1 1

3 1

x y

y x

xy x y

           

.

Câu 2 (2,5 điểm):

a. Tính giới hạn:

3

2 0

4 4 8 12 1 cos lim

3 4 2 x

x x x

x 

   

 

.

b. Chứng minh rằng với mọi tham số thực m, phương trình   6 3 65 . 2 1 1 x m x m x      

luôn có nghiệm.

Câu 3 (1,5 điểm):

a. Cho   H là một đa giác đều có 252 đường chéo. Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh

là ba đỉnh của   H . Tính xác suất để tam giác được chọn là một tam giác vuông không cân.

b. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau đồng thời tổng lập phương của ba

chữ số đó chia hết cho 3.

Câu 4 (3,5 điểm):

Cho hình chóp .S ABC và điểm M di động trên cạnh AB ( M khác , A B ). Mặt phẳng  

luôn đi qua M đồng thời song song với cả hai đường thẳng SA và BC .

a. Xác định thiết diện khi cắt hình chóp .S ABC bởi mặt phẳng  . Tìm vị trí của điểm M để

thiết diện có diện tích lớn nhất.

b. Điểm N nằm trên cạnh BC thỏa mãn 23

5 BA BC BM BN   . Chứng minh rằng: mặt phẳng

  SMN luôn chứa một đường thẳng cố định khi M di động.

c. Chứng minh rằng:       2 2 2 SA BC SC AB SB AC      .

-------------HẾT -------------

1

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2022-2023

VÀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG

QUỐC GIA NĂM HỌC 2023-2024

Khóa ngày 04 tháng 4 năm 2023

Môn thi: TOÁN BÀI THI THỨ NHẤT Đáp án này gồm có 07 trang

YÊU CẦU CHUNG * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. * Ở câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai ở phần nào thì cho điểm 0 ở phần đó. * Điểm thành phần của mỗi câu được chia đến 0,25 điểm. Đối với những phần được chia đến 0,5 điểm thì tổ giám khảo thống nhất để chia đến 0,25 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng câu. * Điểm của toàn bài là tổng điểm (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu. Câu Nội dung Điểm

1a Giải phương trình lượng giác: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos 2 4 x x x          

. 1,0

Ta có: 2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos 2 4 x x x          

  3 2 1 cos 3cos2 1 1 cos 2 2 x x x           



0,25

2 2cos 3cos2 2 sin 2 x x x     

3cos2 sin 2 2cos x x x   

0,25

3 1 cos2 sin 2 cos 2 2 x x x   

  cos 2 cos 6 x x          

 

0,25

5 2 18 3 , . 7 2 6

x k

k x k

        



 

 

Vậy phương trình có hai họ nghiệm là: 5 2 18 3 x k     và 7 2 , 6 x k k     .

0,25