Đề thi học sinh giỏi lớp 10 môn Toán năm học 2018 2019 sở GD ĐT Hà Tĩnh

Câu 1. (5.0 điểm)

a. Giải bất phương trình 2 4 3 (2 3) 2(1 ). x x x x    

b. Giải hệ phương trình

2 2 ( 1 )( 1 ) 1 . 3 2 2 2 6 10

x x y y

x y x x y

           

Câu2. (5.0 điểm)

a. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho parabol 2 ( ): 4 3, P y x x    điểm (1;4) I và đường thẳng : 8. d y mx m    Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol ( ) P tại hai điểm phân biệt , A B sao cho tam giác IAB cân tại .I

Câu 3. (6.0 điểm) a. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 20, góc  BAC bằng 0 60 , bán kính đường tròn nội tiếp

tam giác bằng 3. Gọi 1 1 1 , , A B C lần lượt là hình chiếu vuông góc của , , A B C lên

, BC , AC AB và M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho    . ABM BCM CAM     Tínhcot và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 1 1. A B C b. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác ABC vuông tại , A đỉnh ( 4;1), C  phân giác trong góc Acó phương trình 5 0. x y    Viết phương trình đường thẳng , BC biết diện tích tam giác ABC bằng 36 và đỉnh A có hoành độ dương. Câu 4. (2.0 điểm ) Cho phương trình 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 0, x ax a x ax       với a là tham số. Biết rằng phương trình có nghiệm thực duy nhất. Chứng minh rằng 2. a  Câu 5. (2.0 điểm) Cho các số thực không âm , , x y z thỏa mãn 3 3 3 3 x y z    .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  

2 1 . 1 xyz x y z P xy yz zx xy yz xz          

---------------Hết --------------- -Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay; -Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ............................................................ Số báo danh:...................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

(Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 - 11 THPT

NĂM HỌC 2018 - 2019

Môn thi: TOÁN LỚP 10 Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC

b. Một người nông dân có một khu đất rất rộng dọc theo một con sông. Người đó muốn làm một cái hàng rào hình chữ E (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau và nuôi gà. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 80 ngàn đồng một mét dài, đối với phần còn lại thì chi phí nguyên vật liệu là 40 ngàn đồng một mét dài. Tính diện tích lớn nhất của phần đất mà người nông dân rào được với chi phí vật liệu 20 triệu đồng.

Con sông

NỘI DUNG

Câu 1.a pt 2 2 2 2 ( 3) 3 3 2 0 x x x x      

2

2

3 2 (1) 1 3 (2) 2

x x

x x

       

4 2 0 (1)

3 4 0

x

x x

      

1 x  

4 2

0 (2) 1 3 0 4

x

x x

      

3 10 2 x   

Vậy bất phương trình có nghiệm 1 x  hoặc 3 10 2 x  

Câu 1b

2 2 2 2

2 2 1 1 ( 1 )( 1 ) 1(1)

1 1

x x y y x x y y x y x x y y

           

   

Thay x=y vào phương trình thứ hai ta được

3 3 2 6 10 x x x     . ĐK: 2 x 6 3  

3( 3 2 2) ( 6 2) 2( 2) 0 PT x x x x         

9 ( 2)( 2 ) 0 3 2 2 6 2 x x

x x         

Ta có 9 9 7 6 2 2 ; 3 2 2 3 2 2 3.6 2 2 6 2 x x x            

Suy ra 2 x  . Vậy hệ có nghiệm (2;2)