Đề chọn đội tuyển Olympic 2021 lớp 10 môn Toán lần 1 trường chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Quảng Nam
Xem trước nội dung
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN BỈNH KHIÊM
TỔ TOÁN - TIN
ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN OLYMPIC NĂM 2021
MÔN TOÁN – KHỐI 10 – LẦN 1
Ngày thi: 19/09/2020
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (2,0 điểm)
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 8 x y và 2 16 z xy . Tính: P x z .
Bài 2. (2,0 điểm)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, có góc lớn nhất bằng . Biết rằng a và b là hai nghiệm của
phương trình 2 4( 2) ( 4) x c c x . Tính .
Bài 3. (2,0 điểm)
Cho 0 1 1 9 2 3 , , , , , a a a a a là các số nguyên dương sao cho: 2 2 2 2 2 1 2 3 9 10 2 3 9 10 385 a a a a a .
Tính 1 2 3 9 10 S a a a a a .
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho a, b, c là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: ( )( )( ) a b b c c a chia hết cho 48.
Bài 5. (3,0 điểm)
a) Cho ( 2) n n và * 1 2 , 1,2, , n i A a a a a i n . Giả sử a là ước số của A và i a a với mọi
1,2, , i n . Chứng minh rằng a là một hợp số.
b) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện ac bd . Chứng minh rằng a b c d là một hợp số.
Bài 6. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho
AE AF . Đường trung tuyến AM và đường thẳng EF cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng: QE AC QF AB .
Bài 7. (3,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 1 | | | | | | 12 a b c ab bc ca a b b c c a .
Bài 8. (2,0 điểm)
Trên bảng cho 2020 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2020. Ta thực hiện liên tiếp phép biến đổi sau: mỗi lần biến
đổi ta xóa đi hai số bất kì a, b có trên bảng rồi viết thêm số 1 3 a b ab vào bảng. Khi trên bảng chỉ còn lại
đúng một số thì dừng lại. Tìm số còn lại đó.
-------------------- HẾT --------------------
https://toanmath.com/
+ Học sinh không được phép sử dụng máy tính cầm tay.
+ Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
