Đề thi Olympic 24/3 lớp 10 môn Toán năm 2021 sở GD ĐT Quảng Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM

NĂM 2021

Môn thi : TOÁN 10

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 20/03/2021 Câu 1 (5,0 điểm).

a) Giải phương trình 2 3 1 3 3 4 4 3 2 0. x x x x         

b) Giải hệ phương trình

2

2 0

2 3 2( 3 2) 2 1 0

y x xy

x x y y x x

    

        

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Cho hàm số

2

1 3 khi 3

6 12 khi 3

x x x y

x x x

        

có đồ thị (C).

Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) có tung độ bằng 4.

b) Cho parabol ( ) P :

2 y x bx c    . Tìm các hệ số ,b c để ( ) P đi qua (2;1) A và cắt trục hoành tại hai điểm , B C sao cho tam giác IBC đều, với I là đỉnh của ( ). P

Câu 3 (4,0 điểm).

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 ( ) 3 2 f x x x   trên nửa khoảng   1; . 

b) Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn 3. x y xy   

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3

y y x x P

x y y x     

Câu 4 (3,0 điểm). a) Cho hình vuông , ABCD M là trung điểm của , BC N nằm trên cạnh CD sao cho 2 , NC ND  K là trung điểm của . AB Hai điểm ,I J lần lượt là trọng tâm của hai tam giác , . AMN BCN Hãy biểu thị vectơ IJ



theo hai vectơ , AB AD 

và chứng minh IJ vuông góc với . DK

b) Cho tam giác ABC có  0 2 3, 4, 150 . AB AC BAC    Điểm M nằm trên cạnh BC

sao cho  0 120 . BAM  Tính độ dài các đoạn thẳng , . MB MC Câu 5 (4,0 điểm). a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm (3;1) A và đường thẳng (d) có phương trình 2 1 0 x y   . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng (d) tại (1;3). B

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại B. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC và (7;3) I là trọng tâm của tam giác . ABN Điểm E thuộc cạnh AC sao cho IE IA  ( E khác A ) và đường thẳng IE có phương trình 2 13 0 x y    . Điểm M thuộc đường thẳng 1 ( ) : 3 12 0 d x y    , B thuộc đường thẳng

2 ( ) : 2 0 d x y    và A có hoành độ lớn hơn 5. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.

–––––––––––– Hết –––––––––––– Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: …..………………………….………. Số báo danh: ……….………

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 1/6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM

NĂM 2021 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN 10 (Đáp án – Thang điểm gồm 06 trang) Câu Đáp án Điểm

Câu 1

(5,0 điểm)

a) Giải phương trình 2 3 1 3 3 4 4 3 2 0 x x x x         2,5

Điều kiện: 1 3. x  

2 3 1 4 4 3 3 3 2 0 x x x x         3( 1 3 ) 4 ( 1)(3 ) 2 0 (1) x x x x         

Đặt 2 1 3 ( 0) 2 2 ( 1)(3 ) t x x t t x x         

Phương trình (2) trở thành: 2 3 2( 2) 2 0 t t    

2

2 2 3 2 0 1 (loai) 2

t t t

t

        

2 1 3 2 2 t x x x        (thỏa).

b) Giải hệ phương trình

2

2 0

2 3 2( 3 2) 2 1 0

y x xy

x x y y x x

   

        

2,5

Điều kiện 1 , 0 2 x y  

2 0 y x xy    ( ) ( ) 0 y x x xy      ( 2 )( ) 0 y x y x    

2 0 ( 0) 4 y x y x y x       

Khi đó pt thứ hai viết lại: 2 2 3 2( 2) 2 1 0 x x x x         2 4 4 2( 2) 2 1 (2 1) 0 x x x x x        

 

2 2 2 1 0 x x     

2

2 2 1 2 5 6 5 0

x x x x x x

             

Suy ra được nghiệm của hệ: (5 ; 20).