Đề Olympic 30 tháng 4 lớp 10 môn Toán năm 2021 trường chuyên Lê Hồng Phong TP HCM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4

LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021

Ngày thi: 03/4/2021 MÔN THI: TOÁN - KHỐI: 10

THỜI GIAN: 180 phút Hình thức làm bài: Tự luận

Đề thi có 01 trang

Lưu ý: - Thí sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy riêng và ghi rõ câu số mấy ở trang 1 của mỗi tờ giấy thi.

- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Câu 1. (3,0 điểm) Cho , , a b c là độ dài các cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2.

Chứng minh

3 3 3

2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3. 6 a b c abc a b b c c a           

Câu 2. (4,0 điểm) Cho các số thực , , x y z thỏa mãn

2

2

2

1 1

1 1

1 1.

x y

y z

z x

          

Chứng minh x y z   là số nguyên.

Câu 3. (4,0 điểm) Với số nguyên dương 2, n  xét bảng vuông gồm có    2 1 2 1    n n ô vuông, người

ta viết vào mỗi ô chỉ một trong 3 số 1, 0 hoặc 1  sao cho trong mỗi bảng con 2 2  luôn tìm được 3 ô có tổng bằng 0. Gọi n S là giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trong bảng. Chứng minh

a. 2 5. S 

b. 2 1. n S n n   

Câu 4. (4,0 điểm)

a. Chứng minh tồn tại 2 cặp số ( , ) a b với a, b là các số nguyên dương thỏa mãn

2 2 9 3 7 a b   . b. Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình

2 2 7n x y xy   

có nghiệm trong tập số nguyên không chia hết cho 7.

Câu 5. (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC   AB AC  nội tiếp đường tròn ( ). O Tia AO cắt đoạn thẳng BC tại .L Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường thẳng . BC Giả sử tiếp tuyến qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC  cắt các tia , AB AC lần lượt tại các điểm , . D E

a. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp các tam giác D A B  , E A C  , L A A  cùng đi qua một điểm khác . A b. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . ADE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác JDE tiếp xúc với ( ). O

HẾT Họ tên thí sinh: ..................................................................... SBD: ................................................... Trường: ................................................................................. Tỉnh/TP: .............................................

Trang 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

ĐÁP ÁN

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4

LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021

Ngày thi: 03/4/2021 MÔN THI: TOÁN 10 - THỜI GIAN: 180 phút

Hình thức làm bài: Tự luận

Đề thi có 01 trang

Bài Nội dung Điểm

1

Cho , , a b c là độ dài các cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh

3 3 3

2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3. 6 a b c abc a b b c c a            3,0

Do , , a b c là độ dài ba cạnh tam giác nên

0 0 2 2 0 1 c a b c a b c c            . Chứng minh tương tự, ta được 0 1, 0 1 a b    .

Đặt 2 2 2 2 2 2. A a b b c c a      

Ta có 2 2 2 6( ) 6( ) 2 3 A a b c a b c        . (1)

2,0

Nhận xét: Từ 0 , , 1 a b c   suy ra   2 2 2 4 a b a b     .

Ta có

2 2 2 2

2 2 ( ) ( ) 2( ) . 4 2( )

a b a b a b a b

a b a b

         

Viết 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có



2 2 2

2 2 2 3 3 3

( ) ( ) ( ) 2 4 4 ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2

a b b c c a A

a b b c c a a b c abc

      

         

Từ(1) và (2), ta có điều phải chứng minh.

1,0