Đề thi học sinh giỏi lớp 10 môn Toán năm 2021 2022 cụm trường THPT Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 10

NĂM HỌC 2021 - 2022

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút Bài I (4,0 điểm) Cho Parabol    2 ( ) : 2 3 P y x x . 1) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị ( ) P . 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( ) P sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng   4 7 y x đạt giá trị nhỏ nhất. Bài II (6,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

       

2 2 1. 3 x y xy x y xy

2) Giải phương trình sau:

a)     2 2 3 5 1 x x x ;

b)        2 3 2 6 2 1 3 2. x x x x

Bài III (4,0 điểm) Cho ba số dương , , a b c thỏa mãn   3 a b c .

1) Chứng minh   

3 3

2 2 a b a b b a

.

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   

3 3 3

2 2 2 a b c P b c a

.

Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác, M là

một điểm thỏa mãn    2 3 0. MA MB MC

1) Chứng minh:  6GM AC .

2) Gọi , , D E F là hình chiếu của M lên các cạnh , , . BC CA AB Tính   MD ME MF

theo .a

Bài V (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có các đường cao , , . AD BE CF Biết điểm (5, 4), E điểm (1,2) F và phương trình đường thẳng BC là 1 y .

1) Viết phương trình đường thẳng EF và tìm tọa độ trung điểm của . BC

2) Tính diện tích tam giác . DEF

- - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - Họ và tên thí sinh:.................................................... Số báo danh:............................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT

HƯỚNG DẪN CHẤM

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 10

NĂM HỌC 2021 - 2022

Môn thi: TOÁN

Bài Câu Nội dung điểm 1 (4,0đ)

1 TXĐ: 0,25

Đỉnh   1; 4 I  0,25 Bảng biến thiên:

x  -1 

y

 

0,5

Đồ thị: (P) Giao với trục    : 3;0 ; 1;0 Ox 

(P) Giao với trục   : 0; 3 Oy  Vẽ đồ thị hàm số (Chú ý: học sinh biểu diễn tọa độ các điểm trên hình vẽ vẫn được điểm tối đa)

0,25

0,25

0,5

2

Gọi   , M x y P  suy ra 2 2 3 y x x    0,25

Khi đó  

2 2 4 4 7 ,

17 17

x x y x d M d

      0,5

Ta có:  

2 2 2 4 1 3 3 x x x      

Suy ra   3 17 , 17 d M d  .

0,5

Suy ra giá trị nhỏ nhất của   3 17 , . 17 d M d 

Dấu bằng xảy ra khi 1, 0. x y  

0,5

Vậy   1,0 M . 0,25 2 (6,0đ)

1                       

2 2 2 1 ( ) 3 1 3 3 x y xy x y xy x y xy x y xy 0,25

Đặt x y S xy P      

0,25

-4

Hệ phương trình trở thành

                           

2 2 2, 1 3 1 3 10 0

5, 8 3 3

S P S P S S

S P S P P S 0,5

Với   5, 8 S P suy ra ,x y là nghiệm của phương trình    2 5 8 0 X X ( vô nghiệm)

0,5

Với   2, 1 S P suy ra ,x y là nghiệm của phương trình

     2 2 1 0 1 X X X suy ra  1 x y

Vậy hệ có nghiệm là      , 1;1 x y

0,5

2a

    2 2 3 5 1 x x x

 

                    

2 2 2

1 1

6 0 2 3 5 1

x x

x x x x x

1,0

        

1

2( ) 3( )

x

x l x tm

. Vậy phương trình có nghiệm là: 3 x

1,0

2b

Điều kiện 2. x Đặt 1

2

x a

x b

   

  

0,5

Phương trình trở thành

          

3 6 2 3 ( 3)( 2) 0 2 a ab a b a b b 0,5

Với 3 10( ) a x tm    Với 2 6( ) b x tm   

Vậy tập nghiệm của phương trình là {6;10}. S 

1,0

3 (4,0đ)

1 Biến đổi :

               

3 3

5 5 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 0 a b a b a b a b a b a a b b a b b a

1,0

                 2 2 2 3 3 2 2 0 0 a b a b a b a b a ab b 1,0 2

Áp dụng bđt Cauchy ta có:   

3

2 3 a b b a b

  

3

2 3 b c c b c

;   

3

2 3 c a a c a

1,0

Suy ra

              

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2 2( ) 3( ) 3 a b c a b c a b c a b c a b c b c a b c a

Dấu bằng xảy ra khi a =b= c =1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 khi a =b = c =1.

1,0