Đề học sinh giỏi lớp 10 môn Toán cấp tỉnh năm 2022 2023 sở GD ĐT Hải Dương

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2022-2023

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không tính thời gian phát đề

Ngày thi: 10 tháng 04 năm 2023

Đề thi có 01 trang Câu 1. (2,0 điểm)

1) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

2 2 1

2 3 2

x y x mx m

− = − + −

xác định trên .

2) Một chiếc cổng hình parabol có chiều cao 8m và khoảng cách giữa hai chân cổng là 12m như hình vẽ. Giả sử một chiếc xe tải có chiều ngang 4m và chiều cao là 7m đi vào vị trí chính giữa cổng. Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Câu 2. (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: 2 2 3 3 x x x − − = + .

2) Giải hệ phương trình:

2 2 2 3 2 0

( 1) 2 ( 1 1)

xy x

x x y

 − + + =  − = + − 

Câu 3. (2,0 điểm)

1) Một công ty cần thuê xe để chở 120 người và 6,5 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe A và B , trong đó loại xe A có 9 chiếc và loại xe B có 8 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu đồng, một chiếc xe loại B cho thuê với giá 3 triệu đồng. Biết rằng mỗi chiếc xe loại A có thể chở tối đa 20 người và 0,5 tấn hàng, mỗi chiếc xe loại B có thể chở tối đa

10 người và 2 tấn hàng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí bỏ ra là thấp nhất? 2) Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho trong đó luôn có ba chữ số 1,2,3 và tồn tại ba chữ số có tổng bằng 8?

Câu 4. (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là , , BC a CA b AB c = = = ; góc 0 60 A = và

2(cos 1) − = − + b c B a c . Tính số đo các góc B và C.

2) Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có (3;4) C , đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh CA và CB có phương trình 2 4 5 0 − + = x y . Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC có phương trình 3 0 − = x y . Tìm tọa độ điểm A và B.

3) Cho hình chữ nhật ABCD (AB > AD). Tìm vị trí điểm M trên cạnh của hình chữ nhật sao cho biểu thức 2 2 . T MA MC MB MD = + + 

đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho , , a b c là các số dương thỏa mãn 3 3 3 3 a b c + + = .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 1 1 5( ) 4( ) P a b c a b c = + + + + + .

Họ và tên thí sinh………………………………… Số báo danh…………………………………………

Cán bộ coi thi số 1……………………………. Cán bộ coi thi số 2………………………………………

ĐỀ CHÍNH THỨC

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

NĂM HỌC 2022-2023

MÔN:TOÁN (Hướng dẫn gồm 07 trang)

Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (2,0 điểm)

1) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

2 2 1

2 3 2

x y x mx m

− = − + −

xác định trên .

a) Hàm số xác định trên R  2 2 3 2 0, x mx m x R − + − > ∀∈ 0.25đ

 0 1 0 a ∆<  = > 

0.25đ

 2 3 2 0 m m − + < 0.25đ  1 2 m < < . Vậy 1 2 m < < 0.25đ 2) Một chiếc cổng hình parabol có chiều cao 8m và khoảng cách giữa hai chân cổng là 12m như hình vẽ. Giả sử một chiếc xe tải có chiều ngang 4m và chiều cao là 7m đi vào vị trí chính giữa cổng. Hỏi xe tải có đi qua cổng được không?

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Parabol có phương trình dạng 2 y ax bx = + .

0,25

Vì chiếc cổng hình parabol có chiều rộng 12 m và chiều cao 8m, theo hình vẽ ta có parabol đi qua các điểm M( ) 12;0 và đỉnh I( ) 6;8 :

2 144 12 0 9 36 6 8 8 3

a a b a b b

 = −  + =   ⇔   + =  = 

.

Parabol có phương trình

2 2 8 9 3 y x x = − + .

0,25

Do chiếc xe tải có chiều ngang 4m đi vào vị trí chính giữa cổng nên xe sẽ chạm tường tại

0,25