Đề lập đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 - 2027 sở GDĐT Bắc Ninh

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI LẬP ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2026-2027

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 15 tháng 9 năm 2026

Câu 1. (5,0 điểm) Cho dãy số ( ) na xác định bởi:

1

2 * 1

,

1 , . n n n n

a a

a a a n na +

= ∈   −  = + ∀∈ 





a) Với 2, a = chứng minh rằng dãy ( ) na có giới hạn hữu hạn.

b) Với 0, a > chứng minh rằng

1 2

1 1 1

n n a a a + + + ≥  với mọi 2, . n n ≥ ∈

Câu 2. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC < ) nội tiếp đường tròn ( ) O có

ba đường cao , , AD BE CF đồng quy tại . H Gọi M là trung điểm cạnh BC và P là hình chiếu vuông góc của H lên . EF Gọi Q là giao điểm của EF và . BC a) Gọi R là giao điểm thứ hai của đường thẳng AP và đường tròn ( ). O Chứng minh

rằng đường thẳng DR đi qua điểm đối xứng của A qua đường thẳng . OM b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và X là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

. DMR Chứng minh rằng đường thẳng XH vuông góc với QG .

Câu 3. (5,0 điểm) Cho đa thức ( ) 3 2 4 20 25 P x x x x = − + . Xét dãy các đa thức ( ) ( ) nP x

xác định bởi:

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , n n P x P x P P x + = với mọi * n∈.

a) Với ( ) ( ) 1P x P x = , xác định số nghiệm thực phân biệt của ( ) nP x theo n.

b) Với ( ) ( ) 2 1 1 8 9 P x P x x = − + −, gọi na là nghiệm dương nhỏ nhất của đa thức ( ) nP x

với mỗi * n∈. Chứng minh rằng

2026

1 . 3 4 n n T a

= > = ∑

Câu 4. (5,0 điểm) Cho hai dãy số ( ), ( ) n n a b xác định như sau: 0 1 1, 1 a a = = , 2 1 2 , n n n a a a n + + = + ∀∈ và 0 1 0, 1 b b = = , 2 1 2 , . n n n b b b n + + = + ∀∈

Chứng minh rằng, với mọi * n∈ thì

a) 2 (1 2)n n n a b + = + và cặp số , n n a b nguyên tố cùng nhau.

b) 4 2

n b là số nguyên nhưng không là số chính phương.

===== HẾT =====

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ................................................... Số báo danh: ................................

1

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI LẬP ĐỘI TUYỂN

THAM DỰ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2026-2027

Môn: TOÁN (ngày thi: 15/9/2026) (Hướng dẫn chấm có 06 trang) Câu Đáp án Điểm 1 Cho dãy số ( ) na xác định bởi:

1

2 * 1

,

1 , . n n n n

a a

a a a n na +

= ∈   −  = + ∀∈ 





a) Với 2, a = chứng minh rằng dãy ( ) na có giới hạn hữu hạn.

b) Với 0, a > chứng minh rằng

1 2

1 1 1

n n a a a + + + ≥  với mọi 2, . n n ≥ ∈

5,0

1.a. (2,5 điểm) Ta có 1 2 3 4 1

1 1 5 11 2, , , . 2 4 10 a a a a a = = = = =

Ta sẽ chứng minh quy nạp 1 na > với mọi 3. n ≥ Thật vậy, giả sử mệnh đề đúng đến n k = . Xét 1 n k = + ta có

2 1 ) ( 1) 1 1 1 1 1 (1 ) ( 1) 1 ( 1) ( 1 . k k k k k k k k

k

k

k a a a a a a a ka ka ka +   − − −= −+ − = − − + = −    

Theo giả thiết quy nạp thì 1 1 ,( 3) 1 ka k k > > ≥ − nên suy ra 1 1. ka + >

Do đó mệnh đề đúng với mọi 3 n ≥.

1,0

Ta sẽ chứng minh quy nạp ( ) n a giảm từ 3a trở đi. Thật vậy, 3 4 1. a a > > Giả sử 3 4 . n a a a > > >  Ta sẽ chứng minh 1. n n a a + >

Thật vậy, 2 1 1 (1 ) 0 n n n n a a a na + − = − < nên 1 . n n a a + <

Vậy dãy ( ) n a giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn hữu hạn.

1,5

1.b. (2,5 điểm) Ta có

2

1 1 1 , 1. n n n n n n n

a a a a a n na n na + − = + = − + ≥

Từ 1 0 a a = > và quy nạp suy ra 0 na > với mọi 1. n ≥

0,5

Ta có 1 1 1 1 1 1 1 . n n n n n n n n n n n

a a n a a a a a a na n n na n na + + + −   = + − ⇔ = − + ⇔ = +    

Suy ra 1 1 ( 1) n n n na n a a + = − − với mọi 1. n ≥ Khi đó

( )

1 2

2 3 2 4 3 1

1

1 1 1

(2 ) (3 2 ) ( 1)

.

n

n n

n

a a a

a a a a a na n a

na

+

+

+ + +

= + − + − + + − −

=





0,5