Tự luận và trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian Toán 12 KNTTVCS

Hình học 12-Chương 5–Phương pháp toạ độ trong không gian – Tự luận phân dạng toán có lời giải

https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Trang 1

CHƯƠNG 5

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 14

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

a. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ 0 n 

  được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   nếu giá của n vuông góc với mặt

phẳng  .

Chú ý:

 Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

 Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   thì kn( 0) k  cũng là một vectơ pháp tuyến

của mặt phẳng  .

b. Tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz , hai vectơ ( ; ; ) u a b c   và ( ; ; ) v a b c     . Khi đó vectơ

  ; ; n bc b c ca c a ab a b            vuông góc với cả hai vectơ u và v, được gọi là tích có hướng của u

và v, kí hiệu   , u v .

Chú ý:

   , 0 u v 

  khi và chỉ khi u, v cùng phương.

 Tích có hướng của hai vectơ ( ; ; ) u a b c   và ( ; ; ) v a b c     là:

    , ; ; ; ;

b c c a a b u v bc b c ca c a ab a b b c c a a b

                      



Hình học 12-Chương 5–Phương pháp toạ độ trong không gian – Tự luận phân dạng toán có lời giải

https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Trang 2

c. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz , hai vectơ u và v được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng  P

nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng  P .

Nếu vectơ u và v được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng  P thì   , u v  là một vectơ

pháp tuyến của mặt phẳng  P .

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz , mỗi mặt phẳng đều có dạng phương trình: 0 Ax By Cz D     trong đó

, , A B C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Chú ý: Trong không gian Oxyz , mỗi phương trình 0 Ax By Cz D     (các hệ số , , A B C không đồng

thời bằng 0 ) xác định một mặt phẳng nhận   ; ; n A B C   làm một vectơ pháp tuyến.

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

a. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Trong không gian Oxyz , nếu mặt phẳng   đi qua điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z và có vectơ pháp tuyến

  ; ; n A B C   thì có phương trình tổng quát là:

0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 A x x B y y C z z Ax By Cz D            với 0 0 0 D Ax By Cz   

b. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

Trong không gian Oxyz , bài toán viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm 0 M và có cặp vectơ

chỉ phương , u v , ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm một vectơ pháp tuyến   , n u v   .

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm 0 M và có vectơ pháp tuyến n.

Hình học 12-Chương 5–Phương pháp toạ độ trong không gian – Tự luận phân dạng toán có lời giải

https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Trang 3

c. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Trong không gian Oxyz , bài toán viết phương trình mặt phẳng ( )  đi qua ba điểm , , A B C không

thẳng hàng, ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương , AB AC 

.

Bước 2: Tìm một vectơ pháp tuyến , n AB AC       .

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng ( )  đi qua điểm A (hoặc điểm B hoặc điểm C ) và có vectơ

pháp tuyến n.

Nhận xét: Mặt phẳng ( )  không đi qua gốc tọa độ O và lần lượt cắt trục Ox tại ( ;0;0) A a , cắt trục Oy

tại (0; ;0) B b , cắt trục Oz tại (0;0; ) C c thì có phương trình là 1 x y z a b c    (với . . 0 a b c  ). Phương trình

đó được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Trong không gian Oxyz , cho 2 mặt phẳng : 0 Ax By Cz D      và : 0 A x B y C z D         

có vectơ …