Đề học sinh giỏi lớp 9 môn Toán năm 2023 2024 phòng GD ĐT Hoàng Mai Nghệ An

UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9

Năm học 2023-2024

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian

giao đề

Câu 1. (4,5 điểm)

a. Tính giá trị biểu thức: A= ( )( ) 3 5 10 2 3 5 + − −

b. Rút gọn biểu thức ( ) ( ) 2 2024 2024 2024 C x x x x = − − + + − (Với 2024 x ≥ )

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Cho 00 < x <900. Chứng minh rằng 2 1 sin 1 sin 2. tan 1 1 sin 1 sin x x x x x + − + = + − +

b) Giải phương trình 5??2 −4??√??+ 3 −??+ 4 = 0

Câu 3. (4,0 điểm)

a) Tìm số nguyên n sao cho C= n2 - 3n +4 là số chính phương

b) Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c =2023.

Chứng minh rằng a3 + b3 + c3-1 chia hết cho 6

Câu 4. (6,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC, AC.

Đường thẳng qua C vuông góc với BC cắt DE tại F, H là hình chiếu của C lên BF

a) Chứng minh FH. FB = FE.FD

b) Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác ECH

c) Gọi I là trung điểm của FE. Chứng minh A, H, I thẳng hàng

Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b +c = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2 2 2 2 2 5 2 9 a ab b a c a b − + + + +

….HẾT ….

UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9

Năm học 2023-2024

(Đáp án gồm 04 trang)

Môn: TOÁN

Câu

Nội dung Điể

m

Câu 1

a

(2,5

điểm)

( )( ) 3 5 10 2 3 5 + − −

= ( )( ) 3 5 5 1 6 2 5 + − −

= ( )( ) ( )

2 3 5 5 1 5 1 + − −

= ( )( )

2 3 5 5 1 + −

=( )( ) 3 5 6 2 5 + −

= ( )( ) 2. 3 5 3 5 + −

= 2.(9-5) = 8

0,5đ

0,5đ

0,5

0,5

0,5

b

(2,0

điểm)

( ) ( ) 2 2024 2024 2024 C x x x x = − − + + −

( ) ( ) 2 2 2024 2024 2 2 2024 C x x x x = − − + + −

( ) ( )

2 2 2024 2024 2024 2024 C x x x x = − − + − + +

( )( ) 2 2024 2024 2024 2024 C x x x x = − − + − + +

2 2024 2024 C x x = − − −

4048 C = −

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 2

a

(2,0

điểm)

VT =

2 2

2 2 (1 sin ) (1 sin )

1 sin 1 sin

x x

x x

+ − + − −

=

2 2 1 sin 1 sin

cos cos

x x

x x

+ − + = 2

????????

0,5đ

0,5

0,5đ

VP = 2. ට??????2??

??????2??+ 1

= 2. ට??????2??+??????2??

??????2??

= 2

????????

0,5

b(2,0 đ)

ĐK: x≥-3

5??2 −4??√??+ 3 −??+ 4 = 0

<=> (4??2 −4??√??+ 3 + ??+ 3) + (??2 −2??+ 1) = 0

<=> (2x - √??+ 3 )2 + (x-1)2 = 0

Lập luận được x = 1 là nghiệm

0,75

0,5

0,75

Câu 3

a

(2,0

điểm)

n2 - 3n +4 là số chính phương

=> n2 - 3n +4 = a2

=>4n2-12n +9 + 7= 4a2

=>(2n-3)2 -4a2 = -7

=>(2n-3-2a)(2n-3+2a) = -7

Ta có bảng kết quả

2n-3-2a 1 7 -1 -7

2n-3+2a -7 -1 7 1

N 0 3 3 0

Vậy n = 0 hoặc n= 3

0,25

0,5

0,5

0.5

0,25

b

(2,0

điểm)

Ta có a+b+c =2023 => a+b+c-1 = 20226

Xét hiệu ( a3 +b3 +c3-1) –(a+b+c-1) = (a3-a)+(b3-b)+(c3-c)

Ta có a3 –a = a(a-1)(a+1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia

hết cho 6

Tương tự b3 –b và c3 –c chia hết cho 6

=>( a3 +b3 +c3-1) –(a+b+c-1) chia hết cho 6

Mà a+b+c-1 chia hết cho 6=> a3 +b3 +c3-1 chia hết cho 6

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 4

0,5

a)

3,0đ

Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC

=> DE//AB mà AC vuông góc với AB

=> DE vuông góc với AC

Tam giác CDF vuông tại C có đường cao CE

=>CF2 = FE.FD (1)

Tam giác FBC vuông tại C có đường cao CH

=> CF2 = FH.FB (2)

Từ (1) và (2) => FH.FB = FE.FD

0,5

0,5

0,75

0,75

0,5

b)

2,0đ

Xét Tam giác ABC Và tam giác ECF

Có Góc BAC = góc CEF = 900

Góc ECF = góc ABC (cùng phụ với góc BCA)

=> tam giác ABC đồng dạng với tam giác ECF (gg) => AB BC EC CF = (3)

Tam giác BHC đồng dạng với BCF (gg) => BH BC HC CF = (4)

Từ (3) và (4) => AB BH EC HC =

Xét tam giác ABH và tam giác ECH có

Góc ACH = góc ECH ( cùng phụ với hai gócBOA và COH bằng nhau)

Và AB BH EC HC = => tam giác ABH đồng dạng với tam giác ECH (cgc)

0,5

0,5

0,5

0,5

O

I H

F

E

D

A C

B