Bài toán chứng minh vuông góc - góc nhìn từ phép lấy đối xứng

Bài toán chứng minh vuông góc

Góc nhìn từphép lấy đối xứng

Nguyễn Đăng Khoa

THCS – THPT Newton

Hà Nội, 2026

Chuyên đềtrình bày cách lấy đối xứng qua một trung điểm đểchuyển bài toán vuông góc thành bài toán vềtam giác cân, hình bình hành hoặc đường kính. Hệthống 22 bài được sắp xếp từlàm quen đến vận dụng và thửsức, có câu hỏi gợi mở, lời giải hình học và hình vẽđi kèm. Cảm ơn ChatGPT đã giúp tác giảbiên soạn một cách nhanh chóng và có hình thức đẹp.

Tư tưởng chính. Muốn chứng minh XM ⊥Y M, hãy lấy X′ đối xứng với X qua M. Khi ấy, đích mới là Y X = Y X′: tạo ra một tam giác cân có trung tuyến Y M.

Nguyễn Đăng Khoa Bài toán chứng minh vuông góc

Mục lục

Mởđầu 3

1 Công cụcốt lõi 3

2 Tìm hướng giải 3

3 Ba bài khởi động 4

4 Chuyển độdài và góc 5

5 Hai ví dụtựsáng tác: góc đặc biệt và tiếp tuyến 13

6 Kết hợp với đường tròn 15

7 Trung điểm ẩn trong bài thi vào chuyên 19

8 Thửsức với cách nhìn mới 22

9 Tựluyện, khai thác và tổchức bài học 25

Kết luận 26

2 / 26

Nguyễn Đăng Khoa Bài toán chứng minh vuông góc

Mởđầu

Lấy đối xứng qua một trung điểm thường giúp chuyển các độdài và góc vềcùng một tam giác. Chuyên đềtập trung vào cách chọn điểm phụấy, qua các bài từcơ bản đến thi vào chuyên và Olympic. Ba mục đầu chỉnhắc nhanh công cụ; học sinh đã vững kiến thức có thểbắt đầu từ Bài 4.1.

1 Công cụcốt lõi

Bổđề1.1. Cho M là trung điểm của XX′, với X ̸= X′ và Y ̸= M. Khi đó Y M ⊥XX′ khi và chỉkhi Y X = Y X′.

Chứng minh. Đây là tính chất đường trung trực: Y X = Y X′ tương đương với việc Y nằm trên đường trung trực của XX′.

XX X X XXX X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ X′ M M M M M M M

YYYYYYY

UUUUUUU

VVVVVVV

Nếu M còn là trung điểm của UV , hai đường chéo XX′, UV có chung trung điểm nên UXV X′

là hình bình hành (khi bốn điểm không thẳng hàng). Nhờđó, UX′ = V X, V X′ = UX và các cặp cạnh tương ứng song song.

2 Tìm hướng giải

Với mục tiêu XM ⊥Y M, hãy thửba bước:

(a) Lấy X′ đối xứng với X qua M; đích mới là Y X = Y X′.

(b) Dùng hình bình hành và đường trung bình đểchuyển độdài, góc đến X′; tìm hai tam giác bằng nhau.

(c) Kết thúc bằng tam giác cân Y XX′ và trung điểm M.

Điểm cần suy nghĩ là lấy đối xứng điểm nào đểdùng được dữkiện. Hai cặp cạnh bằng nhau chưa đủ: phải kiểm tra góc xen giữa và thứtựđỉnh. Nếu còn biết \ XY X′, đường trung tuyến Y M cũng là phân giác; ta tính được cảba góc của tam giác Y MX.

3 / 26

Nguyễn Đăng Khoa Bài toán chứng minh vuông góc

3 Ba bài khởi động

Bài toán 3.1 (Trung tuyến trong tam giác cân). Cho tam giác ABC có AB = AC, M là trung điểm BC. Chứng minh AM ⊥BC.

AAA A AAA

BBB B BBB CCC CCCC M M M M M M M

Lời giải. Vì AB = AC, điểm A nằm trên đường trung trực của BC. Do đó AM ⊥BC.

Bài toán 3.2 (Đường chéo hình thoi). Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại M. Chứng minh AC ⊥BD.

AAA A AAA

BBB B BBB

CCC CCCC

DD D D DDD

M M M M M M M

Lời giải. M là trung điểm của AC, còn BA = BC. Áp dụng Bổđề1.1, ta có BM ⊥AC, tức BD ⊥AC.

Bài toán 3.3 (Nhân đôi một trung tuyến). Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC và AM = BC/2. Chứng minh AB ⊥AC.

AAA A AAA

BBB B BBB CCC CCCC

DD D D DDD

M M M M M M M Lời giải. Lấy D đối xứng với A qua M. Tứgiác ABDC là hình bình hành có hai đường chéo AD = 2AM = BC, nên là hình chữnhật. Vậy AB ⊥AC.

4 / 26