Lý thuyết và phân dạng bài tập Toán 12 học kì 2 - Ngô Đức Tài

1 ∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân 2

§1. Nguyên hàm 2

§2. Tích phân 30

§3. Ứng dụng hình học của tích phân 60

§4. Ôn tập chương 4 111

Chương V. Phương pháp tọa độtrong không gian 152

§1. Phương trình mặt phẳng 152

§2. Phương trình đường thẳng 184

§3. Công thức tính góc trong không gian 221

§4. Phương trình mặt cầu 246

§5. Ôn tập chương 5 274

Chương VI. Xác suất có điều kiện 307

§1. Xác suất có điều kiện 307

§2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes 325

§3. Ôn tập chương 6 344

2 ∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Chương

IV

§1 §1 NGUYÊN HÀM

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1) Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm sốf(x) xác định trên khoảng K. Hàm sốF(x) được gọi là nguyên hàm của hàm sốf(x) trên K nếu F′(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Chú ý. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) trên K. Khi đó Với mỗi hằng sốC, hàm sốF(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) trên K thì tồn tại hằng sốC sao cho G(x) = F(x)+C với mọi x ∈K.

Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm sốf(x) trên K đều có dạng F(x)+C, với C là hằng số. Ta gọi F(x) +C,C ∈R là họtất cảcác nguyên hàm của f(x) trên K, kí

hiệu Z f(x)dx và Z f(x)dx = F(x)+C.

Từđịnh nghĩa ta có Z f ′(x)dx = f(x)+C.

2) Các tính chất

①

Z f(x)dx ′ = f(x).

②

Z f ′(x)dx = f(x)+C.

③

Z k · f(x)dx = k · Z f(x)dx, với k ∈R,k ̸= 0.

④

Z f(x)±g(x) dx = Z f(x)dx± Z g(x)dx.

3 ∠ Ngô Đức Tài - H 0889 971 004

§1. Nguyên hàm

3) Bảng công thức nguyên hàm của các hàm thường gặp

Đạo hàm Nguyên hàm Nguyên hàm mởrộng (đọc thêm)

(xα)′ = αxα−1

Å1

x

ã′ = −1

x2

(ax)′ = ax ·lna

(ex)′ = ex

(lnx)′ = 1

x

(sinx)′ = cosx

(cosx)′ = −sinx

(tanx)′ = 1 cos2 x

(cotx)′ = − 1 sin2 x

Z xα dx = xα+1

α +1 +C (α ̸= −1)

Z 1 x2 dx = −1

x +C

Z ax dx = ax

lna +C

Z ex dx = ex +C

Z 1

x dx = ln|x|+C

Z cosxdx = sinx+C

Z sinxdx = −cosx+C

Z 1 cos2 x dx = tanx+C

Z 1 sin2 x dx = −cotx+C

Z (ax+b)α dx = 1

a · (ax+b)α+1

α +1 +C (α ̸= −1)

Z dx (ax+b)2 = −1

a · 1 ax+b +C

Z amx+n dx = 1

m · amx+n

lna +C

Z eax+b dx = 1

aeax+b +C

Z 1 ax+b dx = 1

a ln|ax+b|+C

Z cos(ax+b)dx = 1

a sin(ax+b)+C

Z sin(ax+b)dx = −1

a cos(ax+b)+C

Z 1 cos2(ax+b) dx = 1

a tan(ax+b)+C

Z 1 sin2(ax+b) dx = −1

a cot(ax+b)+C

II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP

1 Dạng Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm sốf(x) xác định trên khoảng K. Hàm sốF(x) được gọi là nguyên hàm của hàm sốf(x) trên K nếu F′(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

c Ví dụ1a c Ví dụ1

Chứng minh:

a) Hàm sốF(x) = x4 là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 4x3 trên R ;

b) Hàm sốF(x) = tanx là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 1 cos2x trên khoảng −π

2 ; π

2

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .