Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 - 2027 sở GDĐT Thái Nguyên

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA

TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2026 - 2027

Đềthi chính thức Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kểthời gian phát đề) Ngày thi: 10/9/2026 Đềthi gồm: 06 câu, 01 trang

Câu 1 (3,0 điểm). Cho ba sốthực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng

1 b + c + 1 + 1 c + a + 1 + 1 a + b + 1 ≥2 1 a + 5 + 1 b + 5 + 1 c + 5

.

Câu 2 (3,0 điểm). Cho dãy số(an):

( a1 = 2026 nan = an−1 + 1, ∀n ≥2 . Xác định giá trịnhỏnhất của

sốnguyên dương k sao cho 2026ak < 1.

Câu 3 (4,0 điểm). Tìm tất cảcác hàm sốf : R →R thỏa mãn

f yf(x + y) + f(x) = 4x + 2yf(x + y), ∀x, y ∈R.

Câu 4 (3,0 điểm). Cho n sốnguyên dương đôi một phân biệt a1, . . . , an. Đặt

bi = (ai −a1) · · · (ai −ai−1)(ai −ai+1) · · · (ai −an).

Chứng minh rằng (n −1)! là ước của lcm(b1, . . . , bn), trong đó lcm(b1, . . . , bn) là bội chung nhỏ nhất của các sốnguyên b1, . . . , bn.

Câu 5 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, không cân (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Đường phân giác của [ BAC cắt BC tại E và cắt đường tròn (O) tại điểm thứhai là M. Đường tròn tâm E bán kính EM cắt cung nhỏBC của đường tròn (O) và tia MO tại các điểm thứhai tương ứng là D và Q. Lấy điểm P thuộc đoạn thẳng AD (P ̸= A, P ̸= D) sao cho [ ABP = [ ACP.

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, E, Q, D đồng viên.

b) Gọi giao điểm của AM với BP, CP tương ứng là K, L. Chứng minh rằng OP là đường trung trực của đoạn thẳng KL.

Câu 6 (3,0 điểm). Cho sốnguyên dương n và tập hợp A gồm 60n + 1 sốnguyên dương không vượt quá 210n và nguyên tốcùng nhau với 14. Chứng minh rằng trong A luôn tồn tại hai sốmà một sốchia hết cho ba lần sốcòn lại.

———— Hết ————

Chú ý: - Thí sinh không được dùng tài liệu. - Giám thịcoi thi không giải thích gì thêm.

THLM Team 1

LỜI GIẢI: Thực hiện bởi: THLM Team

Câu 1:

Cho ba sốthực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng

1 b + c + 1 + 1 c + a + 1 + 1 a + b + 1 ≥2 1 a + 5 + 1 b + 5 + 1 c + 5

.

Từgiảthiết a + b + c = 3, ta có b + c = 3 −a. Thay vào đề, ta được:

1 4 −a + 1 4 −b + 1 4 −c ≥ 2 a + 5 + 2 b + 5 + 2 c + 5

⇔ X

cyc

1 4 −a − 2 a + 5

≥0.

Ta chứng minh bất đẳng thức sau với mọi x ∈(0; 3):

1 4 −x − 2 x + 5 ≥x −1

6

⇔ 3(x −1) (4 −x)(x + 5) −x −1

6 ≥0

⇔(x −1)2(x + 2)

6(4 −x)(x + 5) ≥0 (đúng với mọi x ∈(0; 3)).

Áp dụng lần lượt cho a, b, c, ta thu được:

X

cyc

1 4 −a − 2 a + 5

≥ X

cyc

a −1

6

⇔ X

cyc

1 4 −a − 2 a + 5

≥a + b + c −3

6 = 0

Bất đẳng thức được chứng minh. ĐTXR khi và chỉkhi a = b = c = 1.

Câu 2:

Cho dãy số(an):

( a1 = 2026 nan = an−1 + 1, ∀n ≥2 . Xác định giá trịnhỏnhất của sốnguyên dương

k sao cho 2026ak < 1.

Ta có nan = an−1 + 1, ∀n ≥2

⇒n!an = (n −1)!an−1 + (n −1)!

THLM Team 2

Đặt bn = n!an, ta có hệthức bn = bn−1 + (n −1)! với b1 = 1! · a1 = 2026. Do đó, ta có:

bk = b1 +

k−1 X

i=1 i! = 2026 +

k−1 X

i=1 i!

Do đó, sốhạng tổng quát của dãy sốlà:

ak = 2026 + Pk−1 i=1 i! k!

Bất đẳng thức 2026ak < 1 tương đương với:

20262 + 2026

k−1 X

i=1 i! < k! (∗)

ˆ Với k ≤2026, do riêng sốhạng 2026 · (k −1)! ≥k! nên (∗) không thỏa mãn.

ˆ Với k = 2027, (∗) trởthành:

20262 + 2026 · 2026! + 2026

2025 X

i=1 i! < 2027!

⇔20262 + 2026

2025 X

i=1 i! < 2026!

Dễthấy vô lý vì vếtrái chứa 2026 · 2025! = 2026!. Do đó k = 2027 không thỏa mãn.

ˆ Với k = 2028, (∗) trởthành:

20262 + 2026 · 2027! + 2026

2026 X

i=1 i! < 2028!

⇔20262

2027! + 2026

2026 X

i=1

i! 2027! < 2028

⇔20262

2027! + 2026

2027 + 2026

2025 X

i=1

i! 2027! < 2028 (∗∗)

Ta có đánh giá sau với mọi 1 ≤i ≤2025:

i! 2027! = 1 (i + 1)(i + 2) . . . 2027 < 1 22027−i

⇒

2025 X

i=1

i! 2027! < 1

22 + 1

23 + · · · + 1 22026 < 1

2

Khi đó vếtrái của (∗∗) thỏa mãn:

VT(∗∗) < 20262

2027! + 2026

2027 + 2026 · 1

2 < 0 + 1 + 1013 = 1014 < 2028

THLM Team 3