Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2016 - 2017 đề thi môn Toán

UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm có 01 trang)

Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức P =

1

2

2

1

2

3 9 3



  

   

 

x

x

x

x

x x

x x

a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b. Tìm x để P < 0

Bài 2: (4,0 điểm)

a. Giải phương trình: . 2 7 6 5 30 x x x    

b. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng   1 1 . 4 a b a b          Bài 3: (4,0 điểm) a. Tìm số tự nhiên n sao cho A= n +n+6 là số chính phương 2

b. Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn 2 2 2 z y x   Chứng minh A = xy chia hết cho 12 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'.

a. Chứng minh ΔAC'C ΔAB'B : b. Trên BB' lấy M, trên CC' lấy N sao cho . Chứng minh rằng : : 0 90 AMC ANB   AM = AN.

c. Gọi S, S' lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A'B'C'.

Chứng minh rằng 2 2 2 ' cos cos cos 1 S A B C S   

Bài 5: (2,0 điểm)

Cho x, y là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 34 35 x y  

2 8 3 4 5 7 A x y x y    

Hết

Họ tên thí sinh:................................................ Chữ kí của giám thị:1:...................

Số báo danh:................. Chữ kí của giám thị 2:...................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2016-2017 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN LỚP 9

( Đáp án này gồm có 05 trang)

Bài Nội dung cần đạt Điểm

Cho biểu thức P =

1

2

2

1

2

3 9 3



  

   

 

x

x

x

x

x x

x x

a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b.Tìm x để P<0

Câu a:(2 điểm) - Tìm được ĐKXĐ: x 0, 1 x  

- Ta có

3 9 3 1 2 2 2 1

3 3 3 ( 1)( 1) ( 2)( 2) ( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 2)( 1)

3 3 3 1 4 ( 2)( 1)

3 2 ( 2)( 1)

( 2)( 1) 1 ( 2)( 1) 1

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x x

         

              

    

 

  

 

       

0,5

0,5

0,5

0,5

1(4đ)

Câu b:( 2 điểm) - Ta có: P < 0

1 0 1

1 0( 1 0)

1

1

x x

x do x

x

x

   

  

 

  - Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với thì P < 0. 0 1 x  

0,5

1,0 0,5

Câu a:(2đ)

ThuVienDeThi.com

Giải phương trình: . 2 7 6 5 30 x x x     - ĐKXĐ . 5 x  - Ta có

  

2

2

2 2

7 6 5 30

8 16 5 6 5 9 0

4 5 3 0

x x x

x x x x

x x

   

       

     

- Vì nên    

2 2 4 0; 5 3 0 x x     

   

2

2 4 0

5 3 0

4 0

5 3 0

4

x

x

x

x

x

   

   

          ( thỏa mãn ĐKXĐ) - Nghiệm của phương trình đã cho là x=4

0,25

1,0

0,5

0,25

2(4đ)

Câu b: (2đ)

Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng

  1 1 . 4 a b a b          - Ta có

  1 1 . 2 a b a b a b b a            - Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương

2 . 2 a b a b b a b a   

- Do đó   1 1 . 4 a b a b         

0,75

0,75

0,5

3(4đ)

Câu a:(2đ) Tìm số tự nhiên n sao cho A= n +n+6 là số chính phương 2

- Để A là số chính phương thì A= n +n+6 =a2 ( a ) 2 N 

- Ta có: n +n+6 =a2 2       

2 2

2 2 4 4 24 4

2 2 1 23

2 2 1 . 2 2 1 23

n n a

a n

a n a n

   

   

      - Vì a,n là các số tự nhiên nên (2a +2n +1) là số tự nhiên và 2a +2n +1 > 2a – 2n -1. Do đó

2 2 1 23 2 2 1 1

4 24 4 20

6 5

a n a n

a n

a n

      

    

   

0,25

0,5

0,5

0,25

ThuVienDeThi.com