Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2016 - 2017 môn Toán

0

PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP

(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: tháng 10 năm 2016

Bài 1 (4.5 điểm).

a) Chứng minh rằng với hai số thực bất kì ta luôn có: . ,a b

2

2 a b ab        Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? b) Cho ba số thực không âm sao cho . , , a b c 1 a b c   

Chứng minh: . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? 16 b c abc  

. Bài 2 (4 điểm).

a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng 2 lần tích các chữ số bằng số đó. b) Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) - xyz

Bài 3 (4 điểm)

a) Tìm các số nguyên thỏa mãn: ;x y 2 2 3 2 0 y xy x     b) Chứng minh rằng với mọi x, y nguyên thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương

Bài 4 (4.5 điểm).

Cho tam giác ABC có ( là hai độ dài cho trước), Hình chữ nhật ,a c MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.

a) Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó. Bài 5 (3 điểm).

Cho tam giác ABC cân tại A, . Hai điểm M và N lần lượt trên AC và AB sao cho: BC a  và hai đoạn BM và CN vuông góc với nhau. 2 , 2 AM MC AN NB   Tính diện tích tam giác ABC theo . a

Họ tên học sinh: .................................................................; Số báo danh: .......................

Giám thị 2: ......................................................................... Ký tên ......................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

1

PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP

(Hướng dẫn chấm và đề thi gồm có 03 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn: Toán

Bài Nội dung Điểm Bài 1: 4,5đ 1.1 2đ

Ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 a b a ab b a ab b ab ab                

2

0, , 4 a b a b     R

Vậy:  

2

2 , , 4 , , 2 a b ab a b a b ab a b              

R R

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b 

0,5

0,5

0,5

0,5 1.2 2.5đ

Theo kết quả câu 1.1, ta có:

      2 2 4 a b c a b c a b c            mà (giả thiết) 1 a b c    nên: (vì a, b, c không âm nên b + c không âm)    

2 1 4 4 a b c b c a b c      

Nhưng: (không âm)  

2 4 b c bc  

Suy ra: . 16 b c abc  

Dấu đẳng thức xảy ra khi: 1 1 , 4 2 1

a b c

b c a b c a b c

             

0,25

0,25

0,25

0,25

0,50 Bài 2:(4 đ)

2đ Gọi là số tự nhiên cần tìm, >0, , x,y là số tự nhiên. xy 9 x  9 0 y   Ta có phương trình: 2xy=10x+y 2xy-10x-y =0  2x(y-5)-(y-5) =5 (2x-1)(y-5) =5   (2x-1)(y-5) =5.1=1.5 (Do x, y là số tự nhiên , x lớn hơn 0 nên 2x-1 lớn hơn 0...) 

Vậy số tự nhiên cần tìm là 36

(2 1) 1 1 ( 5) 5 10( )

(2 1) 5 3 ( 5) 1 6

x x y y loai

x x y y

                               

0.5

0.5

0.5

0.5 2đ A= (xy+ yz+ zx) (x+y+ z) – xyz = xy (x+ y+ z)+ yz (x+ y + z) + zx (x+ y+z)- xyz = y (x+ y + z) (x+z)+ zx (x+ z) = (x+ z) [y(x+ y+ z)+ zx] = (x+ z ) [x (y+ z) + y ( y+ z)]= (x+ y) (x+ z)(+ z)

0.5 0.5 0.5 0.5

Bài 3:4đ

2đ

(*) 2 2 2 2 2 2 3 2 0 2 3 2 ( ) ( 1)( 2) y xy x x xy y x x x y x x               

VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên

1đ

ThuVienDeThi.com