Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2016 - 2017 môn Toán học

PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP

(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 15 tháng 10 năm 2017

Bài 1: (4 điểm) Chứng minh rằng: a. Với mọi số tự nhiên n > 1 thì số A = n 6- n 4 + 2n 3 + 2n 2 không thể là số chính phương.

b. Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì tích a.b cũng là tổng của hai số chính phương. Bài 2: (3 điểm) Hãy xác định giá trị x;y để có đẳng thức:

5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + 2 = 0 Bài 3: (3 điểm) Cho hai số thực x, y thoả mãn phương trình: 2x + 3y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S = 3x 2 + 2y 2. Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình:

= x 2 +6x –1 12 25x 11x 7x 2 2 3  Bài 5: (2 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD,AB= 2BC.Trên cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt đường thẳng

CD ở F.Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 . 4 AB AE AF  

Bài 5: (5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A ,đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC . Biết BH = 4(cm) ; HC = 9(cm)

a, Tính độ dài đoạn DE b, Chứng minh rằng AD . AB = AE.AC c, Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm BH ; N là trung điểm của CH . d, Tính diện tích tứ giác DENM

Hết ./.

Họ tên học sinh: .................................................................; Số báo danh: .......................

Giám thị 2: ......................................................................... Ký tên ......................................

ĐỀ CHÍNH ỨC

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP

(Gồm có 03 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 20 tháng 11 năm 2016

TT Lời giải Điểm Bài1 4điểm

a.Giả sử n6 – n4 + 2n3 + 2n2 = k 2 , k  Z <=> n4( n2 – 1) + 2n2 (n + 1) = k2 <=> (n + 1) n 2(n 3 – n2 +2) = k 2

<=> ( n+ 1)2 n2( n – 1) 2 + 1 = k 2

=>( n – 1) 2 + 1 phải là số chính phương. Nhưng ta có: (n – 1) 2 < ( n- 1) 2 + 1 = n 2 + 2 (1 – n) < n 2 do n >1 suy ra ( n- 1) 2 + 1 không phải là số chính phương. Vậy A= n6 – n4 + 2n3 + 2n2 không thể là số chính phương. b. Giả sử a = m2 + n 2 và b = p2 + q2

m;n;p;q Z. Ta có: a.b = (m2 + n 2 )( p2 + q2 ) = m2p 2 + m2q 2 +n2p2 +n2q2 = m2p 2 + n2q2 + 2mnpq +m2 q2 +n2p2 – 2mnpq =(mp +nq)2 + (mq – np)2 Đ.p.c.m Bài 2 3 điểm

5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + 2 = 0 (1)

(1) <=> 25x 2 + 25y 2 + 40xy + 10y – 10x + 10 = 0 <=>25 x2 + 16 y2 + 1 + 40 xy – 10 x – 8 x + 9y2 +18 y +9 = 0 <=> ( 5x + 4y – 1) 2 + 9 (x – 1) 2 = 0

  

 

  

0 1 y

0 1 y 4 x 5

Vậy x = 1, y = - 1 có đẳng thức (1).

Bài 3 3 điểm

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:

(2x + 3y) 2 = (  ( (3x2 + 2y2 ) 2) 2 y. 2

3 3 x. 3

2  ) 2 9 3 4 

= ( 3x2 + 2y2 ) 6 35

Suy ra: 3x2 + 2y2 35

6

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khí:

x và 2x + 3y = 1 2

3 : 2 y 3

2 : 3 

=> 

 



 

3

y 2 2

x 3

1 y 3 x 2

35

9 y ; 35

4 x  

Bài 4 3

Ta có: 7x3 – 11x2 + 25x – 12 = 7x3 – 7x2 + 21x – 4x2 + 4x – 12 =7x( x 2 – x +3) – 4( x2 –x + 3) = ( 7x – 4)( x2 –x + 3) 1đ

HƯỚNG DẪN CHẤM ỨC

ThuVienDeThi.com