Đề KSCL học sinh giỏi Toán 8 đợt 1 năm 2025 - 2026 cụm THCS Lâm-Văn-Kiều - Nghệ An

TRƯỜNG THCS LÂM, VĂN, KIỀU

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH KHÁ GIỎI

ĐỢT 1- NĂM HỌC 2025-2026

Môn thi: Toán (lớp 8) Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1. (2,5 điểm)

a) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn ( ) ( ) 3 3 3 3 5 a b 13 c d + = + .

Chứng minh rằng: a b c d + + + chia hết cho 6 b) Hai đội cờ thi đấu với nhau, mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của hai đội và có ít nhất một đội có số đấu thủ là số lẻ. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ. Câu 2. (6,0 điểm)

a) Tìm x , biết: 3 3 3 2 (3 8) (5 2 ) ( 3) ( 3)(17 1934 1906) − + − = − + − + − x x x x x x

b) Thu gọn biểu thức: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 P x x x 3x 2 x 5x 6 x 7x 12 x 9x 20 = + + + + − − + − + − + − +

(với 0; 1; 2; 3; 4; 5 x x x x x x ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ). Tìm các giá trị của x nguyên để .x P đạt giá trị nguyên. Câu 3. (1,5 điểm). Để trang trí cổng nhà mình chuẩn bị đón tết nguyên đán Bính Ngọ năm 2026, bạn Bình dùng một đoạn dây thép dài 28 m để cắt thành hai đoạn sau đó gấp mỗi đoạn thành một khung hình vuông để trang trí bóng đèn nháy. Hỏi bạn ấy nên cắt đoạn dây thép như thế nào để tổng diện tích của 2 hình vuông có giá trị nhỏ nhất.

Câu 4. (2,0 điểm). Bác An vay 50 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế. Trong một năm đầu bác chưa trả được nên số tiền lãi trong năm đầu được chuyển thành vốn để tính lãi năm sau. Sau 2 năm bác An phải trả là 59 400 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm đầu? Biết rằng trong năm sau ngân hàng đã giảm 20% lãi suất. Câu 5. (7,0 điểm). Cho ABC ∆ nhọn, các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Từ H hạ HM vuông góc với EF tại M và HN vuông góc với ED tại N.

a) Chứng minh rằng: BED ∆ ∽ BCH ∆ . b) Chứng minh: 2 BC BH.BE CH.CF = + và HM HN = c) Gọi I,J,Q,K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ F lên AC,AD,BE,BC . Chứng minh

rằng 4 điểm I,J,Q,Kthẳng hàng.

Câu 6. (1,0 điểm). Cho X là tập hợp gồm 26 số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số không lớn hơn 100. Chứng minh rằng trong X luôn tồn tại hai số ,x y sao cho x y − thuộc tập hợp { } 5;10;15 --------HẾT---------

HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn thi: TOÁN 8 Câu Nội dung cần đạt Điểm Câu 1a

(1,5 đ)

Ta có: ( ) ( ) 3 3 3 3 5 13 a b c d + = +

( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 6 2 2 a b c d a b c d + + + = + − −

Do ( ) 3 3 3 3 6 2 2 a b c d + − − chia hết cho 6 nên 3 3 3 3 a b c d + + + chia hết cho 6

Xét hiệu ( ) ( ) 3 3 3 3 a b c d a b c d + + + − + + +

( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 a a b b c c d d = − + − + − + −

mà ( ) ( )( ) 3 1 1 a a a a a − = − + là tích của ba số thự nhiên liên tiếp nên

( ) 3 3 − a a 

Tương tự: ( ) 3 3 − b b ; ( ) 3 3 − c c ; ( ) 3 3 − d d 

Mà 3 3 3 3 a b c d + + + chia hết cho 6 nên a b c d + + + chia hết cho 6.

0,25

0,25

0,5

0,25 0,25

Câu 1b

(1,0 đ)

Gọi x, y lần lượt là số đấu thủ của đội 1 và đội 2 (x, y nguyên dương)

Theo bài ra ta có: xy = 4(x +y)

(x - 4)(y-4) = 16 Do x, y nguyên dương nên (x - 4) và (y - 4) là ước nguyên dương của 16. Mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 = 8.2 = 16.1 Mặt khác lại có ít nhất 1 đội có số đấu thủ lẻ

Do đó: x x y y − = =   ⇒   − = =  

4 1 5 4 16 20

hoặc x y =  = 

20 5

Vậy số đấu thủ của đội ......................

0,25 0,25

0,25

0,25

Câu 2a

(3,0 đ)

Đặt a = 3x - 8, b = 5 - 2x Suy ra a + b = x - 3 Do đó phương trình có dạng: a3 + b3 = (a + b)3 + (a + b).K(x) (1) (Trong đó

2 ( ) 17 1934 1906 = + − K x x x ) Mặt khác (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a +b)

a3 + b3 - (a + b)3 = - 3ab(a +b) (2) Từ (1), (2) suy ra (a + b)( - 3ab - K(x)) = 0

TH1: a + b = 0 Suy ra x - 3 = 0 nên x = 3. TH2: - 3ab - K(x) = 0 Thay a, b, K(x) vào ta có

- 3(3x - 8)(5 - 2x) = 17x2 + 1934x - 1906

x2 - 2027x + 2026 = 0 Suy ra x = 1; x = 2026.

Vậy { } x ; ; ∈1 3 2026

0,5 0,5

0,5

0,5

0,5

0,5