Đề khảo sát vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 - 2027 trường THPT chuyên Thái Nguyên

SỞ GD VÀ ĐT THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

THÁI NGUYÊN

ĐỀ THI KHẢO SÁT VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2026 – 2027

MÔN TOÁN (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút.

(ĐỀ THI GỒM CÓ 01 TRANG)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức:

2 2 4 6 4 3 2 2 3 x x x P

x x x x x x x            

với 0 x  và 1. x 

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho đa thức ( ) P x với hệ số thực thỏa mãn

( 8) (2 ) (8 24) ( 5), x P x x P x     với mọi số thực x .

a) Chứng minh 3  và 6 là hai nghiệm của  P x .

b) Biết  P x là đa thức bậc ba và (0) 72 P  . Tính  1 P .

Câu 3 (1,0 điểm). Cho tập hợp   1,2,3,5,8 X  gồm 5 phần tử.

a) Bạn An lấy ngẫu nhiên hai số trong tập hợp X, mô tả không gian mẫu của phép thử trên.

b) Sau khi lấy ngẫu nhiên hai số từ tập hợp X, bạn An cộng hai số đó lại để được một số tự nhiên mới và điền kết quả vào chỗ trống trong phương trình 2 6 ... 0 x x    . Tính xác suất của biến cố “Phương trình tạo được vô nghiệm”.

Câu 4 (2,0 điểm).

a) Với mỗi số thực a , ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a . Tìm phần

nguyên của số

2 3 7 2026 2026 1 ... 1.2 2.3 2026.2027 M       .

b) Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng 1 n P n   với n là số tự nhiên và 165 2 P  .

Câu 5 (1,0 điểm). Cho dãy số 1 2 4052 , , , a a a  bao gồm các số từ 1 đến 2026, mỗi số xuất hiện đúng hai

lần. Có thể sắp xếp các số hạng của dãy sao cho với mỗi số {1,2, ,2026} n  , có đúng n số nằm giữa hai số n trong dãy hay không?

Câu 6 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC (với AB AC  ) nội tiếp đường tròn  O , các đường cao

, , AD BE CF cắt nhau tại H. Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC, AH; P là giao điểm khác A của AH và đường tròn (O); K là giao điểm của AD và EF.

a) Chứng minh năm điểm , , , , M D I E F cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh . . . AK AP AH AD 

c) Tia OI cắt đường thẳng qua A và song song với BC tại S. Chứng minh S, K, M thẳng hàng.

HẾT

Họ tên thí sinh ……………………………………………. Số báo danh ………………………….

SỞ GD VÀ ĐT THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

THÁI NGUYÊN

ĐỀ THI KHẢO SÁT VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2026 – 2027

MÔN TOÁN (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút.

HƯỚNG DẪN CHẤM (Bản Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang).

Câu Đáp án Điểm 1

Cho biểu thức:

2 2 4 6 4 3 2 2 3 x x x P

x x x x x x x            

với 0 x  và 1. x 

2,0

a) Rút gọn biểu thức P.

Ta có 2 2( 2) 6 4 3 ( 1)( 2) ( 1)( 3) x x x P

x x x x x x x             

2 2 6 4 3 1 ( 1)( 3) x x x x x x x x           

0,5

( 2)( 1) 2( 3) (6 4) ( 1)( 3) x x x x x x x x        

  

2 2 2 6 6 4 ( 1)( 3) x x x x x x x x        

  

3 3 ( 1)( 3) x x x x x  

  

3 ( 1) ( 1)( 3) x x x x x  

  

3 . 3 x x x 

 

0,5

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P. Trường hợp 0 x  thì 0 P  . 0,25

Trường hợp 0 x  : Chia cả tử và mẫu cho x , ta được: 3 3

3 3 1 P

x x x

x x x x

 

  

3 . 3 1 x

x

       

0,25

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x và 3

x

, ta có

3 3 2 · 2 3 x x x x    .

Suy ra 3 1 2 3 1. x

x         

0,25

Khi đó 3 2 3 1 P 



6 3 3 11

  .

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 3 3 x x x    (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy giá trị lớn nhất của P là 6 3 3 11

 khi 3 x .

0,25

Cho đa thức ( ) P x với hệ số thực thỏa mãn

( 8) (2 ) (8 24) ( 5), x P x x P x     (*) với mọi số thực x .

1,0

a) Chứng minh 3  và 6 là hai nghiệm của  P x .

Thay 3 x  vào (*), ta được: