Đề thi Olympic 30 tháng 04 năm 2026 Toán 10 trường chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM

K ỳ t h i O l y m p i c t r u y ền t h ốn g 3 0 / 4 l ần t h ứ X X X n ă m 2 0 2 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4

LẦN THỨ XXX - NĂM 2026

Môn: TOÁN - Khối: 10 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 04/04/2026 Đề thi gồm 01 trang, 05 câu

- ĐỀ THI CHÍNH THỨC -

Lưu ý: - Thí sinh làm MỖI câu trên MỘT tờ giấy làm bài riêng biệt và ghi rõ SỐ CÂU ở dòng đầu tiên

của trang thứ nhất (kể cả câu không làm được, nếu có); - Thí sinh không được sử dụng tài liệu, Giám thị không giải thích gì thêm. Câu 1. (4 điểm)

Tìm tất cả các số thực 0 x  , 0 y  , 0 z  thoả mãn:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2 3 9 0,

2 9 12 15 0,

6 9 2 6 0.

x x y y z

x x y z z

x y y z z

 − + − − =  − − + − =  − + − + − = 

Câu 2. (3 điểm)

Tìm tất cả các số thực a , b , c sao cho mỗi đa thức 2 3 x x a − + , 2x x b + + có 2 nghiệm thực phân biệt và là nghiệm của đa thức 3 2 4 x x cx − + + . Câu 3. (4 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên 2 n  sao cho mỗi số 2 2 1 n −, 32 1 n  −, , 2 1 n n − là số nguyên tố. Câu 4. (5 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( ) O , có tia DA cắt tia CB tại điểm P. Lấy điểm X bất kỳ trên cạnh CD . Gọi J , K , L tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , ADX , BCX PAB.

a) Chứng minh rằng O , J , K , L cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi H là trực tâm của tam giác JOK . Chứng minh rằng khoảng cách từ H đến CD bằng LP . Câu 5. (4 điểm)

Một quân xe di chuyển 63 nước đi trên bàn cờ vua 8 8 , đi qua tất cả các ô, mỗi ô đúng một lần và mỗi nước đi nó chỉ di chuyển từ một ô sang một ô có chung cạnh. Đánh số các ô của bàn cờ từ 1 đến 64 theo thứ tự mà quân xe đi qua (vị trí ban đầu của quân xe được đánh số 1). Gọi n là hiệu số lớn nhất giữa các số của hai ô có chung cạnh. Hỏi giá trị nhỏ nhất có thể có của n là bao nhiêu?

---------------- HẾT ---------------- Họ tên thí sinh: .................................................................... SBD: .................................................. Tên trường: .......................................................................... Tên tỉnh/TP: .....................................

K ỳ t h i O l y m p i c t r u y ền t h ốn g 3 0 / 4 l ần t h ứ X X X n ă m 2 0 2 6 T r a n g 1/7

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4

LẦN THỨ XXX - NĂM 2026

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN - Khối: 10 Đáp án gồm 07 trang, 05 câu

Câu 1 Nội dung Điểm

Đề bài

Tìm tất cả các số thực 0 x  , 0 y  , 0 z  thoả mãn:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2 3 9 0,

2 9 12 15 0,

6 9 2 6 0.

x x y y z

x x y z z

x y y z z

 − + − − =  − − + − =  − + − + − = 

4

Cách 1

Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ hai rồi trừ đi 2 lần phương trình thứ ba, ta thu được

2 2 3 3 0, x z − =

dẫn đến z x = (do 0 x  , 0 z  ).

2

Thế z x = thì phương trình đầu tiên trở thành

2 2 12 2 6 0 x x y y − + − = , còn

phương trình thứ hai trở thành

2 3 24 12 0 x x y − − = .

Do đó

2 8 . 4 x x y − = Thế ngược lại vào phương trình đầu tiên, ta có

( )

2 2 2 2 8 8 12 2 6 0 16 4

x x x x x x

− − − +  − =

2 4 3 2 2 8 96 16 64 12 96 0 x x x x x x x  − + − + − + =

4 3 2 16 60 0 x x x  − + =

( ) 2 2 16 60 0 x x x  − + =

( )( ) 2 6 10 0. x x x  − − =

1

Vậy 6 x = hoặc 10 x = . Với 6 x = ta có 3 y = −, mâu thuẫn.

Với 10 x = ta thu được 5 y = . 0.5

Thử lại, ta dễ dàng kiểm tra được rằng bộ ( ) ( ) ; ; 10;5;10 x y z = thoả mãn hệ phương trình đã cho. 0.5

Cách 2

Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ hai rồi trừ đi 2 lần phương trình thứ ba, ta thu được

2 2 3 3 0, x z − =

dẫn đến z x = (do 0 x  , 0 z  ).

2