Đề chọn HSG Toán 10 năm 2026 - 2027 trường THPT chuyên KHTN - Hà Nội

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN

BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN

Đề gồm có 01 trang

ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 10

NĂM HỌC 2026 -2027

Ngày thi: 13/08/2026

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1. Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn 2 2 2 2 2 2 . − − = − − = − − x y z y z x z x y

Chứng minh rằng = = x y z .

Bài 2. Cho n là một số nguyên dương. Tìm ước chung lớn nhất của hai số

2 5 7 + + n n và

2 5 7 + + n n .

Bài 3. Có 4 bạn nam và 4 bạn nữ tham gia các dự án ngoại khóa. Biết rằng:

+ Mỗi người tham gia tối đa 2 dự án.

+ Bất kỳ cặp 1 nam và 1 nữ nào cũng làm chung với nhau ít nhất 1 dự án.

Chứng minh rằng có ít nhất 1 dự án có từ 2 bạn nam và 2 bạn nữ trở lên cùng tham gia.

Bài 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( ) O . Gọi P là giao điểm của hai đường chéo

AC và BD , Q là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC . Tiếp tuyến tại A và C của

đường tròn ngoại tiếp tam giác QAC giao nhau tại K , tiếp tuyến tại B và D của đường tròn

ngoại tiếp tam giác QBD giao nhau tại L . Chứng minh rằng đường thẳng KL vuông góc với

đường thẳng OP .

Bài 5. Cho ,p q là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thỏa mãn  p q . Xét thuật toán

phân tích phân số p

q thành tổng các phân số có tử số bằng 1 như sau: Khởi tạo 1 1 , . = = p p q q

Tại mỗi bước 1  i , ta xác định số nguyên   =    

i i

i

q d p (trong đó  x ký hiệu số nguyên nhỏ

nhất không nhỏ hơn x ), đồng thời đặt 1

1

+

+

i

i

p q

là dạng tối giản của hiệu:

1

1

1 +

+

= − i i

i i i

p p q q d

Thuật toán dừng lại tại bước k nếu 1 = kp . Khi đó, dãy ( ) id sinh ra được gọi là dãy mẫu số

tương ứng của p

q .

Hãy tìm tất cả các phân số p

q sao cho thuật toán dừng lại sau đúng 4 bước, đồng thời dãy

mẫu số thu được thỏa mãn: 4 1 2 3 1 = + d d d d .

................................... Hết ...................................