Đề khảo sát chất lượng Toán 12 đợt 2 năm 2025 - 2026 sở GDĐT Phú Thọ

HƯỚNG DẪN GIẢI

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Lâm trường Tam Đảo thống kê đường kính thân gỗ của 60 cây xoan đào được cho ở bảng sau: Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu đã cho là A.  ) 20;22 . B.  ) 28;30 . C.  ) 24;26 . D.  ) 22;24 .

Lời giải Tần số lớn nhất trong bảng số liệu bằng 20. Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu đã cho là  ) 22;24 .

Câu 2. Một hộp có 5 viên bi màu đỏ và 7 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp đó. Xác suất để lấy được 2 viên bi màu đỏ bằng

A. 5

33

. B. 5

22

. C. 2

33

. D. 7

22

.

Lời giải Tổng số viên bi trong hộp: 12. n = Số cách chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ 12 viên bi:

2 12 66 C = (cách).

Số cách chọn ngẫu nhiên 2 viên bi đỏ từ 5 viên bi đỏ:

2 5 10 C = (cách).

Xác suất để lấy được 2 viên bi màu đỏ: 10 5 . 66 33 P = =

Câu 3. Trong không gian , Oxyz đường thẳng đi qua hai điểm ( ) ( ) 1;2;3 , 5;4; 1 A B − có phương trình

chính tắc là

A. 1 2 3 2 1 2 x y z + + + = = −

. B. 1 2 3 2 1 2 x y z − − − = = .

C. 5 4 1 2 1 2 x y z + + − = = − −

. D. 5 4 1 2 1 2 x y z − − + = = −

.

Lời giải Đường thẳng đi qua hai điểm ( ) ( ) 1;2;3 , 5;4; 1 A B − nhận ( ) 4;2; 4 AB = − 

làm một vectơ chỉ

phương: Vì AB



cùng phương với ( ) 2;1; 2 u = − 

, nên phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua

điểm ( ) 5;4; 1 B − là: 5 4 1 2 1 2 x y z − − + = = −

.

Câu 4. Cho ( )

5

2

2 d f x x =  và ( )

5

2

5 d g x x =  . Giá trị của tích phân ( ) ( )

5

2

2 d f x g x x   −    bằng

A. 8. − B. 12. C. 1. D. 3. − Lời giải Theo tính chất của tích phân:

( ) ( ) ( ) ( )

5 5 5

2 2 2 2 d d 2 d 2 2.5 8. f x g x x f x x g x x   − = − = − = −     

Câu 5. Biết phương trình 2 2 3 1 x x x + + = − có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; x x . Tổng 1 2 x x + A. 3 −. B. 1 −. C. 2 . D. 2 −. Lời giải

Đường kính (cm)  ) 20;22  ) 22;24  ) 24;26  ) 26;28  ) 28;30

Tần số 5 20 18 7 10

Ta có: ( )

2 2 2 2 3 1 2 3 1 x x x x x x + + = −  + + = −

2 3 2 0 x x  + + =

1

2

1

2

x

x

= −   = − 

Thử 1 2 1; 2 x x = − = − vào phương trình đã cho thỏa mãn.

Vậy 1 2 3 x x + = −.

Câu 6. Cho cấp số cộng ( ) n u có 1 2 u = − và công sai 3 d = . Giá trị của 10 u bằng

A. 9 10 2.3 u = − . B. 10 29 u = − . C. 10 25 u = . D. 10 28 u = . Lời giải Ta có: 10 1 9 2 9.3 25 u u d = + = −+ = .

Câu 7. Đạo hàm của hàm số ( ) ( ) sin cos 3 f x x x = + là

A. ( ) ( ) cos 3sin 3 f x x x  = − + . B. ( ) ( ) cos 3sin 3 f x x x  = − .

C. ( ) ( ) cos 3sin 3 f x x x  = + . D. ( ) ( ) cos sin 3 f x x x  = − + .

Lời giải

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) sin cos 3 cos 3sin 3 f x x x x x   = + = −

Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình ( ) 1 3 log 2 1 2 x − − là

A. 1 ;5 2      

. B. 1 ; 2   +    

. C.( ) 5;+. D.( ) ;5 − .

Lời giải

Ta có: ( )

2

1 3

1 1 log 2 1 2 0 2 1 5 3 2 x x x

−   − −  −       

.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 ;5 2 S   =    

.

Câu 9. Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm là ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 3 , f x x x x x  = − − + . Số điểm cực trị

của hàm số đã cho là:

A. 2 . B. 3. C. 1. D. 0 . Lời giải Số điểm cực trị của hàm số bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình ( ) 0 f x  = .

Ta có: ( )

1 0 2

3

x f x x x

=    =  =  = − 

.

Ta thấy 2 x = là nghiệm bội chẵn và 1 x = , 3 x = − nên ( ) f x  chỉ đổi dấu khi qua 1 x = và 3 x = − Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.

Câu 10. Giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 2 3 1 x f x x

+ = −

trên đoạn   2;5 bằng:

A. 13

4

. B. 5. C. 7 . D. 2 .

Lời giải Hàm số xác định trên   2;5 .

Đạo hàm: ( )   2 5 0, 2;5 ( 1) f x x x

−  =   − .

Do ( ) 0 f x   nên hàm số nghịch biến trên   2;5 .

  ( ) ( ) ( )

2;5

2 2 3 max 2 7 2 1 x f x f 

+  = = = − .

Câu 11. Tập nghiệm của phương trình sin 0 x = là: