Đề khảo sát Toán 9 năm 2025 - 2026 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn - TP HCM

KSNL Chuyên Toán Lời giải tham khảo: Nguyễn Thành Hưng - 0818724338

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐHỒCHÍ MINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀTHI KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH LỚP 9 NĂM HỌC 2025-2026 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 19/04/2026 Lời giải tham khảo: Nguyễn Thành Hưng

Câu 1 (3 điểm).

1. Cho các sốthực a, b thỏa mãn a + b = 4 và a3 + b3 = 40. Tính giá trịbiểu thức P = a5 + b5.

2. Giải phương trình: (√2 + x + 1)2 + (√2 −x + 1)2 = 2x + 6.

3. Trong một cuộc thi thiết kếbảng tin của lớp, phần mềm chọn ngẫu nhiên hai sốa, b từ1 đến 6. Mỗi cặp (a, b) đều có khảnăng xuất hiện như nhau. Từđó, phần mềm đềxuất một tấm bảng hình chữnhật có nửa chu vi bằng a dm và diện tích bằng b dm2. Phương án được gọi là "hợp lệ" nếu tồn tại một hình chữnhật có chiều dài và chiều rộng là hai sốnguyên dương thỏa mãn các điều kiện trên. Tính xác suất đểphần mềm đưa ra một phương án "hợp lệ".

Hướng dẫn giải:

1. Ta có: a3 + b3 = (a + b)((a + b)2 −3ab) ⇒40 = 4(16 −3ab) ⇒16 −3ab = 10 ⇒ab = 2. Lại có: a2 + b2 = (a + b)2 −2ab = 16 −4 = 12. Xét tích: (a3 + b3)(a2 + b2) = a5 + b5 + a2b2(a + b) ⇒40 · 12 = P + 22 · 4 ⇒480 = P + 16 ⇒P = 464.

2. Điều kiện xác định: −2 ≤x ≤2. Khai triển phương trình:

(2 + x + 2 √

2 + x + 1) + (2 −x + 2 √

2 −x + 1) = 2x + 6

6 + 2 √

2 + x + 2 √

2 −x = 2x + 6 √

2 + x + √

2 −x = x

Do vếtrái luôn không âm nên x ≥0. Bình phương hai vế(với 0 ≤x ≤2):

(2 + x) + (2 −x) + 2 p

(2 + x)(2 −x) = x2

4 + 2 √

4 −x2 = x2

Đặt t = √

4 −x2 (t ≥0), ta có x2 = 4 −t2. Thay vào ta được:

4 + 2t = 4 −t2 ⇒t2 + 2t = 0 ⇒t(t + 2) = 0

Vì t ≥0 nên t = 0 ⇒ √

4 −x2 = 0 ⇒x2 = 4 ⇒x = 2 (vì x ≥0). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

3. Không gian mẫu khi chọn ngẫu nhiên mỗi cặp số(a, b) có thứtựtừ1 đến 6 là |Ω| = 6 × 6 = 36. Nửa chu vi hình chữnhật là a, diện tích là b. Gọi chiều dài và chiều rộng là x, y (x, y ∈N∗). Ta có hệ: x+y = a và xy = b. Theo định lý Vi-ét đảo, x, y là nghiệm của phương trình: t2−at+b = 0. Phương án "hợp lệ" khi phương trình có nghiệm nguyên dương. Khi đó:

Trên con đường thành công không có dấu chân của kẻlười biếng Trang 1

KSNL Chuyên Toán Lời giải tham khảo: Nguyễn Thành Hưng - 0818724338

ˆ ∆= a2 −4b ≥0 và ∆là sốchính phương.

ˆ a > 0, b > 0.

Lần lượt xét các giá trịcủa a: - a = 1 : Không có giá trịb thỏa mãn. - a = 2: ∆= 4 −4b ≥0 ⇒b = 1. Cặp (2; 1) hợp lệ. - a = 3: ∆= 9 −4b ≥0 ⇒b ∈{1, 2}. Chỉcó b = 2 cho ∆= 1 (chính phương). Cặp (3; 2) hợp lệ. - a = 4: ∆= 16 −4b ≥0. Ta thấy b = 3 và b = 4 thỏa mãn. Cặp (4; 3), (4; 4) hợp lệ. - a = 5: ∆= 25 −4b ≥0. Ta thấy b = 4 và b = 6 thỏa mãn. Cặp (5; 4), (5; 6) hợp lệ. - a = 6: ∆= 36 −4b ≥0. Ta thấy b = 5 thỏa mãn. Cặp (6; 5) hợp lệ. Có tổng cộng 7 phương án hợp lệ. Xác suất phần mềm đưa ra một phương án hợp lệlà P = 7 36.

Câu 2 (2 điểm).

1. Biết phương trình 2x2 −3ax + a = 0 có một nghiệm là b và phương trình ax2 −3ax + 2 = 0 có một nghiệm là 4 3−b với a là sốthực khác 0 và b là sốthực khác 3. Tính giá trịbiểu thức T = a3 + b3.

2. Đểchuẩn bịcho kỳthi khảo sát năng lực trực tuyến, hệthống học tập LMS của trường cần thuê máy chủtừhai nhà cung cấp dịch vụđiện toán đám mây là Alpha và Beta đểtựđộng xửlý và phân tích ảnh của 5000 bài thi trắc nghiệm. Nhà cung cấp Alpha xửlý x bài thi với tổng chi phí là f(x) = 1 40x2 + 100x (đồng). Nhà cung cấp Beta tính phí thiết lập hệthống ban đầu là 400.000 đồng và phí xửlý cho mỗi bài thi là 200 đồng.

a. Tính tổng chi phí mà trường phải trảcho cảhai nhà cung cấp theo x, đơn vị: đồng.

b. Tổng chi phí thấp nhất phải trảlà bao nhiêu đồng?

Hướng dẫn giải:

1. Thếcác nghiệm vào phương trình tương ứng, ta có:

2b2 −3ab + a = 0 (1)

a 4 3 −b

2 −3a 4 3 −b

+ 2 = 0 (2)

Từ(1) suy ra a(1 −3b) = −2b2 ⇒a = 2b2 3b−1 (Nếu b = 1

3 ⇒a · 0 = −2

9 (vô lý). Do đó b ̸= 1

3). Rút gọn phương trình (2):

a 8 (3 −b)2 −a 6 3 −b + 1 = 0 ⇔a(6b −10) + (b −3)2 = 0

Thếa vào ta được:

2b2(6b −10)

3b −1 +b2−6b+9 = 0 ⇔12b3−20b2+3b3−b2−18b2+6b+27b−9 = 0 ⇔15b3−39b2+33b−9 = 0

⇔5b3 −13b2 + 11b −3 = 0 ⇔(b −1)(5b2 −8b + 3) = 0 ⇔(b …