Bộ đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 - 2027 có lời giải chi tiết

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 1

1. CHUYÊN KHOA HỌC TỰNHIÊN

1.1. CHUYÊN KHOA HỌC TỰNHIÊN, VÒNG 1

1.1.1 Phần đềthi

Câu 1 (3,5 điểm).

1) Giải phương trình 3x+ 3p

(2+3x)(2−x) 3√2+3x−2 3√2−x = 6

2) Giải hệphương trình

® 2x+3y+6xy = 2 3(4x2 +9y2) = 6xy(4x2 +9y2)+30xy+12.

Câu 2 (2,5 điểm).

1) Tìm x,y nguyên thỏa mãn đẳng thức

8x3 +27y3 = 18xy+4x+6y+4.

2) Ký hiệu ∑n i=1 ai = a1 + a2 + ··· + an. Với y1,y2,...,y6 là các sốthực bất kì, tìm giá trịlớn nhất của biểu thức

M = 6 ∑ i=1

Ç 2yi 1+y2 i

å2 Ç 2yi+1 1+y2 i+1 −2yi−1

1+y2 i−1

å

,

trong đó y0 = y6, y7 = y1.

Câu 3 (3,0 điểm). Cho hình thoi ABCD với ‘ BAD < 90◦. Trên cạnh AD lấy điểm M (M ̸= A,D). Các đường thẳng CM và AB cắt nhau tại Q.

1) Chứng minh rằng hai tam giác BCQ và DMC đồng dạng.

2) Trên cạnh AB lấy điểm N (N ̸= A,B). Đường thẳng CN cắt đường thẳng AD tại R. Chứng minh rằng BN BQ = DM

DR .

3) Gọi (O) là đường tròn tiếp xúc với AB,AD lần lượt tại B,D. Giảsửtiếp tuyến qua R khác RD và tiếp tuyến qua Q khác QB của (O) cắt nhau tại P. Gọi giao điểm của AP và QR là S. Chứng minh rằng đường thẳng CS đi qua trung điểm của MN.

Câu 4 (1 điểm). Có 100 điểm phân biệt trong một ngũ giác lồi, các điểm này cùng 5 đỉnh của ngũ giác tạo thành 105 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết rằng ngũ giác được chia hoàn toàn thành những tam giác được tạo bởi các đoạn thẳng nối giữa 2 trong 105 điểm trên sao cho:

i) Không có 2 đoạn thẳng nào có điểm chung, ngoại trừcác đầu mút của chúng;

ii) Mỗi tam giác không chứa bất kì điểm nào ởbên trong nó.

Tính sốtam giác thỏa mãn những yêu cầu trên.

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 2

1.1.2 Phần đáp án

Câu 1: (3,5 điểm)

1) Giải phương trình 3x+ 3p

(2+3x)(2−x) 3√2+3x−2 3√2−x = 6

2) Giải hệphương trình

® 2x+3y+6xy = 2 3(4x2 +9y2) = 6xy(4x2 +9y2)+30xy+12.

Lời giải.

1) Đặt 3√2+3x = a, 3√2−x = b, phương trình đã cho tương đương với

−3b3 +ab(a−2b) = 0,

suy ra b(a−3b)(a+b) = 0, ta xét các trường hợp sau.

• Trường hợp 1. b = 0, suy ra x = 2.

• Trường hợp 2. a = 3b suy ra x = 26 15.

• Trường hợp 3. a = −b suy ra x = −2.

Thửlại các nghiệm đều thoảmãn. Vậy x ∈ ß −2;2; 26

15

™ .

2) Đặt t = 2x + 3y thì 6xy = 2 −t và 4x2 + 9y2 = t2 + 2t −4. Phương trình thứhai của hệtrở thành 3(t2 +2t −4) = (2−t)(t2 +2t −4)+5(2−t)+12

tương đương (t + 1)3 = 27 hay t = 2. Từđó có 6xy = 0 và giải ra (x,y) = Å 0, 2

3

ã hoặc

(x,y) = (1,0).

Vậy hệphương trình có nghiệm (x,y) = Å 0, 2

3

ã và (x,y) = (1,0).

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 3

Câu 2: (2,5 điểm)

1) Tìm x,y nguyên thỏa mãn đẳng thức

8x3 +27y3 = 18xy+4x+6y+4.

2) Ký hiệu n ∑ i=1 ai = a1 +a2 +···+an.

Với y1,y2,...,y6 là các sốthực bất kì, tìm giá trịlớn nhất của biểu thức

M = 6 ∑ i=1

Ç 2yi 1+y2 i

å2 Ç 2yi+1 1+y2 i+1 −2yi−1

1+y2 i−1

å

,

trong đó y0 = y6, y7 = y1.

Lời giải.

1) Đặt 2x+3y = S, 6xy = P, phương trình đã cho tương đương với

S3 −3SP = 3P+2S+4,

suy ra S3 −2S−4 = 3P(S+1), dễthấy S ̸= −1 nên 3P = S3 −2S−4

S+1 = S2 −S−1− 3 S−1 hay S−1 thuộc ước của 3, ta xét các trường hợp.

• Trường hợp 1. S+1 = 1 thì S = 0 và P = −4 3 (loại).

• Trường hợp 2. S+1 = −1 thì S = −2 và P = 8 3 (loại).

• Trường hợp 3. S+1 = 3 thì S = 2 và P = 0, suy ra x = 1 và y = 0.

• Trường hợp 4. S+1 = −3 thì S = −4 và P = 20 3 (loại).

Thửlại ta có x = 1 và y = 0 thoảmãn. Vậy x = 1 và y = 0.

2) Đặt xi = 2yi 1+y2 i thì −1 ≤xi ≤1 với mọi i = 1,2,...,6. Khi đó

M = x2 1(x2−x6)+x2 2(x3−x1)+ããã+x2 6(x1−x5) = 6 ∑ i=1 x2 i (xi+1−xi−1) = 6 ∑ i=1 xixi+1(xi−xi+1).

Với mọi a,b, ta có (a−b)3 = a3 −b3 −3ab(a−b), suy ra

ab(a−b) = 1

3

î a3 −b3 −(a−b)3ó .

Do đó

M = 1

3

6 ∑ i=1

î x3 i −x3 i+1 −(xi −xi+1)3ó = −1

3

6 ∑ i=1 (xi −xi+1)3.