Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 - 2027 sở GDĐT Phú Thọ

LỜI GIẢI ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHÚ THỌ NĂM HỌC 2026 −2027

Môn Toán

Môn thi: Toán (vòng 2, dành cho chuyên Toán)

Nguyễn Nhất Huy - Lê Nam Khánh - Phạm Ngọc Uy

Trần Nguyễn Đức Nhật - Lê Thanh Lâm - Hoàng Lê Nhật Tùng

Phan Anh Quân - Trịnh Huy Vũ - Nguyễn Đăng Khoa - Nguyễn Đắc Quán

1. PHẦN ĐỀTHI

Câu 1.

a) Một khách sạn mởcửa 24 giờmỗi ngày. Quản lý phân công vịtrí trực lễtân theo giờ. Sốgiờ trực được chia đều cho sốnhân viên lễtân. Sau khi tuyển thêm 1 nhân viên mới thì thời gian trực của mỗi nhân viên lễtân giảm 48 phút. Hỏi ban đầu khách sạn có bao nhiêu nhân viên lễtân?

b) Cho P(x) là đa thức bậc 3 thỏa mãn P(1) = 2,P(2) = 3,P(3) = 4,P(4) = 17. Tính giá trị P(0).

c) Giải phương trình p

x2 −2x+16 = x−1+ 3 x−1.

Câu 2. Cho m,n là hai sốnguyên dương, m > 1 và p là sốnguyên tốlẻsao cho pm = 1+5ã2n.

a) Chứng minh rằng m là sốchẵn.

b) Tìm tất cảcác bộ(m,n, p) thỏa mãn.

Câu 3. Cho các sốthực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1.

a) Chứng minh rằng 1 ab+b+1 + 1 bc+c+1 + 1 ca+a+1 = 1.

b) Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức P = 1 3a+4b+2c + 1 3b+4c+2a + 1 3c+4a+2b.

Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với ba cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Gọi EM,FN là hai đường cao của tam giác DEF. Gọi I′ là điểm đối xứng của I qua EF.

a) Chứng minh rằng MN song song BC và I′ là trực tâm của tam giác AEF.

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 2

b) Chứng minh rằng ‘ DFI′ = ’ MEC và ’ I′MC = 90◦.

c) Gọi S là giao điểm của I′C với DE, T là giao điểm của ID với MC. Chứng minh rằng 5 điểm I′,M,N,S,T cùng nằm trên một đường tròn.

Câu 5. Ban đầu trên bảng có 100 số1. Mỗi bước bạn An chọn một sốa bất kỳtrên bảng sau đó xóa nó đi và thay thếbởi bốn sốa

4, a

4, a

4, a

4. Chẳng hạn, nếu chọn số1 thì An sẽthay thếbởi

bốn số1

4, 1

4, 1

4, 1

4.

a) Hãy chỉra một cách thực hiện đểsau hữu hạn bước, trên bảng không có 77 sốgiống nhau.

b) Tìm sốnguyên dương k lớn nhất sao cho bất kểbạn An chọn sốnhư thếnào thì sau mỗi bước, trên bảng luôn tồn tại ít nhất k sốgiống nhau.

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 3

2. PHẦN ĐÁP ÁN

Câu 1

a) Một khách sạn mởcửa 24 giờmỗi ngày. Quản lý phân công vịtrí trực lễtân theo giờ. Sốgiờtrực được chia đều cho sốnhân viên lễtân. Sau khi tuyển thêm 1 nhân viên mới thì thời gian trực của mỗi nhân viên lễtân giảm 48 phút. Hỏi ban đầu khách sạn có bao nhiêu nhân viên lễtân?

b) Cho P(x) là đa thức bậc 3 thỏa mãn P(1) = 2,P(2) = 3,P(3) = 4,P(4) = 17. Tính giá trịP(0).

c) Giải phương trình p

x2 −2x+16 = x−1+ 3 x−1.

Lời giải.

a) Gọi x là sốnhân viên lễtân ban đầu của khách sạn (x ∈N∗).

Tổng thời gian trực mỗi ngày là 24 giờnên thời gian trực ban đầu của mỗi nhân viên là: 24

x (giờ).

Sau khi tuyển thêm 1 nhân viên, tổng sốnhân viên là x + 1 (người) nên thời gian trực của

mỗi nhân viên sau khi có người mới là 24 x+1 (giờ).

Vì thời gian trực của mỗi nhân viên lễtân giảm đi 48 phút = 4

5 giờ, ta có phương trình

24

x −24

x+1 = 4

5

Phương trình tương đương với 24 x(x+1) = 4

5 hay (x−5)(x+6) = 0

Từđó phương trình có hai nghiệm x = 5 (TMĐK) và x = −6 (không TMĐK)

Vậy ban đầu khách sạn có 5 nhân viên lễtân.

b) Đặt Q(x) = P(x)−(x+1). Khi đó Q(1) = Q(2) = Q(3) = 0 nên x = 1,x = 2 và x = 3 là ba nghiệm của đa thức bậc 3 Q(x).

Do P(x) bậc 3 nên Q(x) cũng bậc 3, từđó

Q(x) = a(x−1)(x−2)(x−3)

với a là hệsốcao nhất của P(x)

Ta có Q(4) = 6a = 12 nên a = 2. Từđó tính được Q(0) = −12 nên P(0) = −11.

c) ĐKXĐ: x ̸= 1.

Đặt t = x−1. Phương trình trởthành

p

t2 +15 = t + 3

t