Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 - 2027 sở GDĐT Hà Nội

LỜI GIẢI ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 HÀ NỘI NĂM HỌC 2026 −2027

Môn Toán

Môn thi: Toán chuyên (vòng 2)

Nguyễn Nhất Huy - Lê Nam Khánh - Phạm Ngọc Uy

Trần Nguyễn Đức Nhật - Lê Thanh Lâm - Hoàng Lê Nhật Tùng

Phan Anh Quân - Trịnh Huy Vũ - Nguyễn Đăng Khoa - Nguyễn Đắc Quán

1. PHẦN ĐỀTHI

Câu 1.

1) Chọn ngẫu nhiên một sốtựnhiên nhỏhơn 125. Tính xác suất của biến cốA: “Sốđược chọn viết được dưới dạng tổng của hai sốchính phương liên tiếp”.

2) Cho a,b,c là các sốthực thỏa mãn đồng thời a + b + c = 0 và a2 + c2 −4bc −2b + 2 = 0. Tính giá trịcủa biểu thức M = abc.

Câu 2.

1) Cho n là sốnguyên dương thỏa mãn tồn tại các sốnguyên dương a,b,c sao cho n = a2 +b2 +c2 +1

abc . Chứng minh rằng n chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 8.

2) Tìm tất cảcặp sốtựnhiên (x;y) thỏa mãn x3 +3

x+2 = 4y2

2y+1.

Câu 3.

1) Tìm tất cảcặp sốnguyên dương (n; p) thỏa mãn đồng thời p là sốnguyên tốvà 4n2 + p3 + 4p2 −8p−32 chia hết cho np+4n.

2) Với a,b,c là các sốthực không âm thỏa mãn a+b+c = 2, tìm giá trịlớn nhất và giá trịnhỏ nhất của biểu thức

P = bc+2a+1

a2 +1 + ca+2b+1

b2 +1 + ab+2c+1

c2 +1 .

Câu 4.

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 2

Cho tam giác nhọn ABC cân tại A, có đường cao AH. Lấy điểm O thuộc đoạn thẳng AH sao cho OH > OA. Đường thẳng AB cắt đường tròn tâm O bán kính OB tại điểm thứhai T. Lấy điểm E thuộc đoạn thẳng AB sao cho AE > AT. Đường trung trực của đoạn thẳng CE cắt đường thẳng AH tại điểm N.

1) Chứng minh rằng bốn điểm A,E,N,C cùng thuộc một đường tròn.

2) Đường thẳng qua điểm A và song song với đường thẳng BC cắt đường trung trực của đoạn thẳng CE tại điểm K. Gọi F là trung điểm của đoạn thẳng ET. Chứng minh rằng ’ OFK = 90◦.

3) Chứng minh rằng đường tròn tâm O bán kính OB, đường tròn đường kính NK và đường thẳng TK cùng đi qua một điểm.

Câu 5. Xét sốnguyên dương n và tập hợp S gồm n sốnguyên dương a1,a2,a3,...,an thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i) a1 < a2 < a3 < ããã < an = 2000.

ii) Với mọi sốtựnhiên k, 2 ≤k ≤n, tồn tại các sốnguyên dương i, j nhỏhơn k (không nhất thiết phân biệt) sao cho ak = ai +4aj.

1) Chứng minh rằng tất cảcác phần tửcủa tập hợp S đều là sốchẵn.

2) Tìm giá trịlớn nhất của n.

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 3

2. PHẦN ĐÁP ÁN

Câu 1

1) Chọn ngẫu nhiên một sốtựnhiên nhỏhơn 125. Tính xác suất của biến cốA: “Sốđược chọn viết được dưới dạng tổng của hai sốchính phương liên tiếp”.

2) Cho a,b,c là các sốthực thỏa mãn đồng thời a+b+c = 0 và a2 +c2 −4bc−2b+2 = 0. Tính giá trịcủa biểu thức M = abc.

Lời giải.

1. Các sốtựnhiên nhỏhơn 125 gồm có 125 sốlà 0,1,...,124 nên sốphần tửkhông gian mẫu là |Ω| = 125.

Giảsửsốđược chọn n có thểviết dưới dạng tổng hai sốchính phương liên tiếp thì n = k2 +(k +1)2 với k ∈N.

Với k ≥8 thì n ≥145 > 125 không thểđược chọn. Còn với k ≤7 thì 0 ≤n < 125 nên có 8 cách chọn n (tương ứng với 8 cách chọn k từ0 đến 7).

Do vậy xác suất của biến cốA là 8 125

2. Ta có c = −a−b. Thay vào giảthiết thứhai được

a2 +(a+b)2 +4b(a+b)−2b+2 = 0

tương đương 2a2 +6ab+5b2 −2b+2 = 0

hay (2a+3b)2 +(b−2)2 = 0

Ta có (2a+3b)2 ≥0 và (b−2)2 ≥0. Do đó (2a+3b)2 +(b−2)2 ≥0

Dấu bằng xảy ra khi và chỉkhi 2a+3b = b−2 = 0 hay a = −3,b = 2.

Vậy a = −3,b = 2,c = −a−b = 1 nên M = abc = −6.

Câu 2

1) Cho n là sốnguyên dương thoảmãn tồn tại các sốnguyên dương a,b,c sao cho n = a2 +b2 +c2 +1

abc . Chứng minh rằng n chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 8.

2) Tìm tất cảcặp sốtựnhiên (x,y) thoảmãn x3 +3

x+2 = 4y2

2y+1.

Lời giải.

1. Ta sẽchứng minh cả3 sốa,b,c đều lẻ. Lưu ý ta có tính chất quen thuộc là nếu a chẵn thì a2 ≡0 (mod 4), còn nếu a lẻthì a2 ≡1 (mod 4) và a2 ≡1 (mod 8).