Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 - 2027 sở GDĐT Lào Cai

Lời giải đềtoán chuyên tuyển sinh vào 10 tỉnh Lào Cai 2026 Z Pytago Education

Pytago

EDUCATION

LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀTOÁN CHUYÊN

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH LÀO CAI NĂM HỌC

2026 - 2027

Biên tập: Pytago và các cộng tác viên: Nguyễn SỹNhật (SV K71 toán Sư phạm Hà Nội), Trần

Phương Anh (Toán K21-CLC), Lương Tiến Đạt (Toán K21 - CLC), Mai Công Hiếu (Toán K21 -

CLC), Nguyễn Đức Mạnh (Toán K21 - CLC), Trần Hoàng Việt (Toán K21 - CLC).

Câu 1 (2,0 điểm).

1) Cho biểu thức M = Å 2 √x + 1 + 3√x √x + 3 − 14√x + 6 x + 4√x + 3

ã : Å√x −3 √x + −3√x + 9

x + 3√x

ã với x >

0, x ̸= 9.

a) Rút gọn biểu thức M.

b) Tìm tất cảcác sốthực x đểM nhận giá trịnguyên.

2) Cho a, b, c là ba sốthực khác 0 thỏa mãn 1

a + 1

b + 1

c = 2026

abc . Chứng minh rằng

1 a2 + 2bc −2026 + 1 b2 + 2ca −2026 + 1 c2 + 2ab −2026 = 0.

Lời giải.

1) a) Rút gọn biểu thức M.

Với điều kiện x > 0, x ̸= 9, ta có:

M = 3x −9√x (√x + 1)(√x + 3) : x −3√x √x(√x + 3)

= 3√x(√x −3) (√x + 1)(√x + 3) · √x(√x + 3) √x(√x −3)

= 3√x √x + 1.

Vậy M = 3√x √x + 1 với x > 0, x ̸= 9.

b) Tìm tất cảcác sốthực x đểM nhận giá trịnguyên.

Ta có: M = 3√x √x + 1 = 3(√x + 1) −3 √x + 1 = 3 − 3 √x + 1.

Vì x > 0 ⇒√x > 0 ⇒√x + 1 > 1 ⇒0 < 3 √x + 1 < 3.

Do đó, 0 < 3 − 3 √x + 1 < 3, suy ra 0 < M < 3.

Điện thoại: 0393.199.266 1 Địa chỉ099 Kim Sơn, 271-273 Trần Hưng Đạo

Lời giải đềtoán chuyên tuyển sinh vào 10 tỉnh Lào Cai 2026 Z Pytago Education

Đểbiểu thức M nhận giá trịnguyên (M ∈Z) thì M ∈{1; 2}.

• Trường hợp 1: M = 1

3√x √x + 1 = 1 ⇔3√x = √x + 1 ⇔2√x = 1 ⇔√x = 1

2 ⇔x = 1

4 (thỏa mãn điều kiện).

• Trường hợp 2: M = 2

3√x √x + 1 = 2 ⇔3√x = 2√x + 2 ⇔√x = 2 ⇔x = 4 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy các sốthực x cần tìm đểM nhận giá trịnguyên là x ∈ ß1

4; 4 ™ .

2) Với a, b, c ̸= 0 ta có:

1 a + 1

b + 1

c = 2026

abc ⇔ab + bc + ca

abc = 2026

abc ⇔ab + bc + ca = 2026

Ta có:

a2 + 2bc −2026 = a2 + 2bc −ab −bc −ca

= a2 + bc −ab −ca

= a(a −b) −c(a −b)

= (a −b)(a −c) (1)

Tương tựta có:

b2 + 2ca −2026 = (b −c)(b −a) (2)

c2 + 2ab −2026 = (c −a)(c −b) (3)

Thay (1), (2) và (3) vào vếtrái (VT) ta có:

VT = 1 a2 + 2bc −2026 + 1 b2 + 2ca −2026 + 1 c2 + 2ab −2026

= 1 (a −b)(a −c) + 1 (b −c)(b −a) + 1 (c −a)(c −b)

= −b + c −c + a −a + b

(a −b)(b −c)(c −a)

= 0 (a −b)(b −c)(c −a) = 0 = VP

Vậy ta có điều phải chứng minh (đpcm).

Câu 2 (1,0 điểm). Cho phương trình x2 −2x + m −1 = 0 với m là tham số. Tìm tất cảgiá trị

của m đểphương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x3 1 + x3 2 = 20.

Lời giải.

Điện thoại: 0393.199.266 2 Địa chỉ099 Kim Sơn, 271-273 Trần Hưng Đạo

Lời giải đềtoán chuyên tuyển sinh vào 10 tỉnh Lào Cai 2026 Z Pytago Education

Đểphương trình x2 −2x + m −1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

⇔∆′ > 0

⇔1 −(m −1) > 0

⇔m < 2

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có:

 

 x1 + x2 = 2

x1x2 = m −1

Ta có:

x3 1 + x3 2 = 20 ⇔(x1 + x2)(x2 1 −x1x2 + x2 2) = 20

⇔(x1 + x2) (x1 + x2)2 −3x1x2 = 20

⇔2 [4 −3(m −1)] = 20

⇔3(m −1) = −6

⇔m = −1 (thoảmãn điều kiện)

Vậy có một giá trịcủa m thoảmãn đềbài: m = −1.

Câu 3 (0,5 điểm). Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F thứtựnằm trên một đường tròn theo

chiều quay của kim đồng hồ. Chọn ngẫu nhiên hai điểm trong các điểm đã cho và nối lại thành một

đoạn thẳng. Tính xác suất đểđoạn thẳng đó không phải là cạnh của lục giác ABCDEF.

Lời giải.

Không gian mẫu: n(Ω) = 6 · 5

2 = 15.

Gọi A là biến cố: “Đoạn thẳng đó không phải cạnh của lục giác ABCDEF”.

Do lục giác ABCDEF có 6 cạnh nên n(A) = 15 −6 = 9.

Do đó P(A) = n(A)

n(Ω) = 9

15 = 3

5.

Câu 4 (1,0 điểm). Thầy giáo An đi xe máy từA đến B với một tốc độkhông đổi. Khi từB trở

vềA thầy quyết định tăng tốc độthêm 10 km/h nên thời gian vềít hơn thời gian đi 24 phút. Biết

quãng đường AB dài 80 km. Tính tốc độxe máy của thầy khi đi từA đến B.

Lời giải. Gọi vận tốc của xe máy khi đi từA đến B là x (km/h), điều kiện x > 0.

Thời gian đi từA đến B là 80

x (giờ).

Vận tốc của xe máy khi đi từB vềA là x + 10 (km/h).

Thời gian đi từB vềA là 80 x + 10 (giờ).

Đổi 24 phút = …