Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2025 - 2026 sở GDĐT Gia Lai

Lời giải đềthi HSG THPT - Gia Lai 2026

Lê Bình Minh - Chuyên Chu Văn An

Ngày 27 tháng 3 năm 2026

Câu 1. (5,0 điểm)

1. Cho hàm sốy = x3 −3mx2 + 3(m2 −1)x −m3 + 1, với m là tham sốthực. Tìm tất cảcác giá trịm đểđồthịcủa hàm sốcó hai điểm cực trịA và B thỏa mãn OA2 + OB2 = AB2 −8 (O là gốc tọa độ). 2. Có một nửa khối cầu có bán kính R1 = 5 dm và một khối nón có bán kính đáy R2 = 9 dm, chiều cao h = 6 dm. Người ta thiết kếmột khối mới bằng cách cắt nửa khối cầu bởi mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa hình tròn lớn của nửa khối cầu và bỏđi phần chỏm cầu; cắt khối nón bởi mặt phẳng song song với đáy và lấy phần khối nón cụt, sao cho bán kính hình tròn của hai mặt cắt bằng nhau và ghép hai phần đó với nhau tạo thành một khối có tổng chiều cao là 8 dm (tham khảo hình vẽ). Tìm thểtích lớn nhất của khối được tạo thành.

Lời giải

1. Hàm số: y = x3 −3mx2 + 3(m2 −1)x −m3 + 1 Ta có: y′ = 3x2 −6mx + 3(m2 −1) Đểđồthịcó hai điểm cực trịA, B thì phương trình y′ = 0 hay x2 −2mx + m2 −1 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ∆′ = m2 −(m2 −1) = 1 > 0, ∀m ∈R

Theo định lý Vi-ét:

( x1 + x2 = 2m x1x2 = m2 −1 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trịcó phương trình: y = −2x −m + 1 Tọa độhai điểm cực trịlà A(x1; −2x1 −m + 1) và B(x2; −2x2 −m + 1) Yêu cầu bài toán: OA2 + OB2 = AB2 −8 Sửdụng công thức độdài và tích vô hướng: OA2 + OB2 = | ⃗ OB −⃗ OA|2 −8 = OA2 + OB2 −2 ⃗ OA · ⃗ OB −8 ⇔⃗ OA · ⃗ OB = −4 ⇔x1x2 + y1y2 = −4

1

Trong đó:

y1y2 = (−2x1 −m + 1)(−2x2 −m + 1) = 4x1x2 + 2(m −1)(x1 + x2) + (m −1)2

y1y2 = 4(m2 −1) + 4m(m −1) + (m −1)2 = 9m2 −6m −3

Thay vào phương trình tích vô hướng:

(m2 −1) + (9m2 −6m −3) = −4 ⇔10m2 −6m = 0

⇔



 m = 0

m = 3

5

Vậy giá trịcần tìm là m ∈ 0; 3

5

2. Gọi r là bán kính của hai mặt cắt (0 < r ≤5) Xét phần đới cầu: Mặt phẳng cắt nửa khối cầu (bán kính R1 = 5) song song với đáy và cách tâm một khoảng h1. Ta có: h1 = q

R2 1 −r2 = p

25 −r2

Vì phần giữlại là phần đới cầu chứa tâm (bỏchỏm cầu) nên chiều cao của phần này chính là h1. Xét phần nón cụt: Khối nón ban đầu có bán kính đáy R2 = 9 và chiều cao h = 6 Gọi h2 là chiều cao của khối nón cụt. Theo định lý Ta-lét, bán kính r của mặt cắt phía trên thỏa mãn:

r R2 = h −h2

h ⇒r

9 = 6 −h2

6 ⇒h2 = 6 −2

3r

Theo giảthiết, tổng chiều cao của khối mới bằng 8 dm, ta có phương trình:

h1 + h2 = 8 ⇔ p

25 −r2 + 6 −2

3r = 8

⇔ p

25 −r2 = 2 + 2

3r (1)

Điều kiện: 2 + 2

3r ≥0 (luôn đúng với r > 0). Bình phương hai vếcủa (1):

25 −r2 = 4 + 8

3r + 4

9r2 ⇔13

9 r2 + 8

3r −21 = 0

Giải phương trình bậc hai trên, ta thu được nghiệm dương duy nhất r = 3 Với r = 3, ta tính được h1 = √

25 −32 = 4 và h2 = 6 −2

3(3) = 4 Thểtích khối được tạo thành là V = Vđới cầu + Vnón cụt Trong đó:

Vđới cầu = π Z h1

0 (R2 1 −x2)dx = π 25h1 −h3 1 3

= π 25 · 4 −43

3

= 236π

3

Vnón cụt = 1

3πh2(R2 2 + R2r + r2) = 1

3π · 4 · (92 + 9 · 3 + 32) = 4π

3 · 117 = 156π

Tổng thểtích khối mới là:

V = 236π

3 + 156π = 704π

3 (dm3)

Vì các giá trịr và h được xác định duy nhất từđiều kiện tổng chiều cao nên thểtích lớn nhất cần tìm là V = 704π

3 (dm3)

2