Đề thi Olympic Toán THPT năm 2025 - 2026 trường THCSTHPT Bình Chánh - An Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC TOÀN TRƯỜNG TỈNH AN GIANG VÒNG LOẠI 1 CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2025 – 2026 TRƯỜNG THCS VÀ THPT Ngày thi: 25/12/2025 BÌNH CHÁNH (Đề thi gồm 01 trang, 07 câu hỏi) ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Thí sinh phải làm trên giấy thi, giấy nháp do giám thị phát

Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình sau: sinx + cosx + sin2x + 1 = 2√2sin(x +

π

4)cosx

Câu 2. (1,0 điểm) Cho công thức truy hồi của dãy số cấp số cộng (un): {u11 + u12 = 23

u27 −u23 = 4

Tìm số hạng đầu tiên và số hạng tổng quát của dãy số.

Câu 3. (2,0 điểm) Cho dãy số (un) thoả mãn u1 =

1

2 và un+1 = un

2 + un , ∀n ∈ ℕ*

Đặt Sn =

1

u1 + 1 +

1

u2 + 1 +

1

u3 + 1 + … +

1

un + 1 . Tính giới hạn lim

n→+∞Sn

Câu 4. (2,0 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC ̂ = 60o. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Biết góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng đáy (ABCD) bằng 45o. a) Tính thể tích khối chóp S. ABCD theo a. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD. Câu 5. (1,0 điểm) Ta có ba số a, b, c lần lượt lập thành một cấp số cộng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ năm. Mặt khác, ba số đó cũng lập thành một cấp số nhân với a là số hạng thứ nhất, b là số hạng thứ năm và c là số hạng thứ bảy. Tính giá trị của biểu thức T = 2a + b + c

Câu 6. (1,5 điểm) Cho hàm số f(x) =

sin2020nx + 2020

cosx , n ∈ ℤ . Chứng minh rằng f(x) là một hàm số

chẵn. Câu 7. (0,5 điểm) Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thoả mãn f(0) = f(1). Chứng minh

rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2 , luôn tồn tại số thực m ∈[0;1 −

1

n] sao cho:

f(m +

1

n) = f(m)

------HẾT------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC TOÀN TRƯỜNG TỈNH AN GIANG VÒNG CHUNG KẾT 2 CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2025 – 2026 TRƯỜNG THCS VÀ THPT Ngày thi: 30/04/2026 BÌNH CHÁNH (Đề thi gồm 01 trang, 08 câu hỏi) ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Thí sinh phải làm trên giấy thi, giấy nháp do giám thị phát

Câu 1. (1,0 điểm) Giải phương trình hàm số mũ sau đây trên tập số thực ℝ: 3x + 5x = 2.4x

Câu 2. (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho phương trình sau có hệ nghiệm duy nhất là hệ nghiệm (x;y)

{log2(x2 + y2 + 2) ≤ 1 + log2(xy+1)

x + y = m

Câu 3. (1,0 điểm) Cho hàm số f(x) = √1 −x2 . Tính giá trị biểu thức P = f’(

1

2). f’(

1

√2). f’(√3

2 )

Câu 4. (1,0 điểm) Ta có dãy số (xn) thoả mãn xn+1 =

xn

2 + 4

5 . Chứng minh rằng dãy số có giới

hạn và tìm giới hạn đó. Câu 5. (1,0 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh AB = a và cạnh AC = a√5. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. a) Tính thể tích khói chóp S. ABCD theo a b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC) Câu 6. (2,0 điểm) Một lớp học có 40 học sinh. Trong đó, có 22 học sinh thích môn Toán, 18 học sinh thích môn Vật lý, và 15 học sinh thích môn Hóa học. Biết rằng có 9 học sinh thích cả Toán và Vật lý, 7 học sinh thích cả Vật lý và Hóa học, 6 học sinh thích cả Hóa học và Toán. Ngoài ra, có 3 học sinh thích cả 3 môn học trên. a) Tính số học sinh của lớp ít nhất thích một trong ba môn học (Toán, Lý, Hóa). b)Nhà trường cần chọn ngẫu nhiên từ lớp học đó một nhóm gồm 3 học sinh. Tính số cách chọn nhóm sao cho có ít nhất 1 học sinh không thích bất kỳ môn học nào trong ba môn trên.

Câu 7. (1,0 điểm) Tìm tất cả đa thức P(x) thoả mãn P(x2) = x3 . P(x) với mọi x số thực Câu 8. (1,0 điểm) Cho đa thức A(x) = x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x + 1. Chứng minh A(x) bất khả quy. -----HẾT-----