Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2025 - 2026 trường THPT Quảng Trị - Quảng Trị

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

TRƯỜNG THPT QUẢNG TRỊ

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề gồm 02 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ

NĂM HỌC: 2025 - 2026

Môn: Toán Lớp 11 (Thời gian làm bài: 150 phút)

Họ và tên thí sinh...................................................................................Số báo danh................

Câu 1 (4,0 điểm): a) Giải phương trình ( ) sin2 2 sin 2cos 2 x x x + − = .

b) Cho 25 9 3 log 7 ,log 11 ,log 5 . a b c  Tính 135 log 385 theo , , . a b c Câu 2 (4,0 điểm): a) Tìm tất cả các giá trị nguyên không vượt quá 10 của tham số m để phương trình

  2 3 9 3 log 27 6log log 3 23 0 81

x x m x m  có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn

1 2 . 81. x x 

b) Cho điểm M thay đổi trên parabol

2 y x  , H là hình chiếu của M trên trục hoành. Gọi xlà hoành độ của H . Tính   lim . x OM MH  

Câu 3 (4,0 điểm): a) Cho 2026 số nguyên dương đôi một khác nhau và nhỏ hơn 4050. Chứng minh rằng luôn tồn tại

3 số để tổng hai số này bằng số kia. b) Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có 1 SA  . Gọi , D E lần lượt là trung điểm của , . SA SC Tính thể tích của khối chóp .S ABCbiết BD vuông góc với . AE Câu 4 (4,0 điểm): a) Nhân dịp tết Trung thu, xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh: bánh nướng và bánh dẻo. Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, bột mì, trứng, mứt bí, lạp xưởng. Xí nghiệp đã nhập về 600 kg bột mì và 240 kg đường, các nguyên liệu khác luôn đáp ứng được số lượng mà xí nghiệp cần. Mỗi chiếc bánh nướng cần 120 g bột mì, 60 g đường. Mỗi chiếc bánh dẻo cần 160 g bột mì và 40 g đường. Theo khảo sát thị trường, lượng bánh dẻo tiêu thụ không vượt quá ba lần lượng bánh nướng và sản phẩm của xí nghiệp sản xuất luôn được tiêu thụ hết. Mỗi chiếc bánh nướng lãi 8000 đồng, mỗi chiếc bánh dẻo lãi 6000 đồng. Để đáp ứng nhu cầu thị trường; đảm bảo lượng bột mì, đường không vượt quá số lượng mà xí nghiệp đã chuẩn bị và vẫn thu được lợi nhuận cao nhất thì xí nghiệp phải sản xuất bao nhiêu chiếc bánh nướng và bao nhiêu chiếc bánh dẻo.

b) Cho dãy số  nu xác định bởi  

1 2 *

1

1; 2

, 2, 1 2 n n n

u u

n n N u u u 

      

.

Đặt      2 2 2 2 * 1 2 3 1 1 1 ... 1 1, . n n S u u u u n N  Chứng minh với mọi * , n n N S  là số

chính phương. Câu 5 (4,0 điểm):

a) Tìm hai số thực , a b sao cho hàm số

 

2 2

1

1 x ax b

x





 có giới hạn hữu hạn khi 1. x 

2

b) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành, điểm ’ C di động trên cạnh SC . Mặt phẳng  P chứa ’ AC và song song với đường thẳng  , BD P cắt các cạnh SB và SD lần lượt tạ ’, ’ B D .

Xác định vị trí của điểm ’ C trên cạnh SC sao cho 2 3 10 ' 8. ' '

' ' S BB SD C SB DD CC 

............................HẾT...........................

- Học sinh không được sử dụng tài liệu; - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

3

HDC Đáp án Điểm Câu 1a

1a) ( ) sin2 2 sin 2cos 2 x x x + − =

2sin cos 2sin 2 2cos 2 0 x x x x  + − −= ( ) ( ) 2sin 2cos 1 2 2cos 1 0 x x x  + − + =

( )( ) 2sin 2 2cos 1 0 x x  − + =

sin 2

2 cos 1 0

x

x

 = 

+ = 

2 cos 2 x −  = 3 2 4 x k    = +  ( ) k .

0,5

0,5

0,5+0,5+0,5

Câu 1b Cho 25 9 3 log 7 ,log 11 ,log 5 . a b c  Tính 135 log 385 theo , , . a b c Từ giả thiết ==> 2 2 7 5 ;11 3 ;5 3 a b c     

3 3 3 3 135

3 3 3

log 11.7.5 log 11 log 7 log 5 log 385 log 27.5 log 27 log 5   

= 2 2 3 b ac c c 



0,5

0,5

0,5

Câu 2a

  3 3 log 27 3 log x x  , đặt 3 log t x  ta có phương trình

2 (3 ) 6 2 3 23 0 2

t t mt m        

2 (3 ) 3 2 0 t m t m  , phương trình này luôn có hai nghiệm phân

biệt 1 2 ,t t với mọi m vì 2 ( 3) 8 m  > 0 m  .

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm

1 2 1 1 3 , 3 t t x x 

1 2 4 1 2 1 2 81 3 3 4 7 t t x x t t m   Tìm được 7; 6;...;10 m 

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 2b

Ta có

2 2 2 ( ;0), ( ; ) 1 , H x M x x OM x x HM x 

    2

2 lim lim 1 lim

1 x x x

x OM MH x x x

x x 

         

=

2

1 1 lim 2 1 …