Đề thi Olympic Toán 11 năm 2025 - 2026 cụm trường THPT số 10 - Hà Nội

Trang 1

PHẦN I. TRẢ LỜI NGẮN (10,0 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 10. Với mỗi câu hỏi, thí sinh viết kết quả vào giấy thi.

Câu 1. (1,0 điểm) Giá trị lớn nhất của hàm số 2 cos 3cos 2 1 y x x    trên  bằng bao nhiêu?

Câu 2. (1,0 điểm) Tam giác có các đỉnh là các điểm nằm trên đường tròn lượng giác biểu diễn

các nghiệm của phương trình 2 cos cos 0 x x   có diện tích bằng bao nhiêu?

Câu 3. (1,0 điểm) Cho tứ giác lồi có số đo của bốn góc lập thành cấp số cộng và góc lớn nhất có

số đo gấp 5 lần số đo góc nhỏ nhất. Số đo góc nhỏ nhất của tứ giác đã cho bằng bao nhiêu độ? Câu 4. (1,0 điểm) Vào ngày 10 tháng 01 năm 2026 anh Toàn gửi vào ngân hàng 600 triệu đồng với

lãi suất 0,5% /tháng. Kể từ tháng 2 năm 2026, cứ vào ngày 10 mỗi tháng anh Toàn đến ngân hàng rút

ra 25 triệu đồng để chi tiêu. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh Toàn rút hết tiền trong ngân hàng (ở tháng

cuối cùng, số tiền rút ra có thể ít hơn 25 triệu đồng).

Câu 5. (1,0 điểm) Giá trị của   3 2 3 lim 2 1 x x x x     bằng bao nhiêu?

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hàm số 

2

2 2. 4 2 2

x ax b khi x f x x x khi x

          

Biết rằng hàm số  f x liên tục tại

điểm 2. x  Giá trị của 2 a b  bằng bao nhiêu?

Câu 7. (1,0 điểm) Thời gian sử dụng mạng xã hội mỗi ngày của 40 học sinh (đơn vị: phút) được thống kê bởi bảng tần số ghép nhóm như sau:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu?

Câu 8. (1,0 điểm) Cho hình hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D và M là một điểm thuộc đoạn thẳng . BD Biết

rằng, phép chiếu song song lên mặt phẳng   ' ' AA B B theo phương chiếu ' DA biến điểm M

thành điểm N thuộc đoạn thẳng '. AB Tỉ số ' AN AB bằng bao nhiêu?

Câu 9. (1,0 điểm) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2, cạnh bên 2 SA  và

vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh , AB SC và . SA

Gọi  là số đo góc tạo bởi hai đường thẳng MN và . BP Giá trị của cos bằng bao nhiêu?

Câu 10. (1,0 điểm) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật. Biết 2 2, 2, AB AD  

cạnh bên 2 SA  và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi , M N lần lượt là trung điểm của cạnh

AB và . SC Diện tích của tam giác MND bằng bao nhiêu?

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT SỐ 10

KỲ THI OLYMPIC DÀNH CHO HỌC SINH

LỚP 10, LỚP 11 NĂM HỌC 2025 – 2026 Môn thi: Toán – Lớp 11 Ngày thi: 4/4/2026 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 02 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 2

PHẦN II. TỰ LUẬN (10,0 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 11 đến câu 13. Với mỗi câu hỏi, thí sinh trình bày lời giải vào giấy thi.

Câu 11. (4,0 điểm) Cho một bảng 6 6  như hình vẽ:

Một chú thỏ xuất phát từ vị trí điểm , A di chuyển ngẫu nhiên qua các cạnh của ô vuông theo

hướng lên trên hoặc sang phải đến vị trí . B a) Có bao nhiêu cách để chú thỏ đi từ A đến B thỏa mãn yêu cầu của đề bài? b) Tính xác suất để chú thỏ đến được B mà đi qua điểm H hoặc điểm . K

Câu 12. (4,0 điểm) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thoi cạnh  0 2, 60 . ABC  Biết rằng hình

chiếu vuông góc của điểm S xuống mặt phẳng   ABCD là trọng tâm H của tam giác ABC và

3. SH 

a) Chứng minh đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng  . SHC

b) Gọi E là điểm thay đổi trên đoạn thẳng . CH Gọi ,I K lần lượt là hình chiếu vuông góc của

điểm E lên các mặt phẳng   SCD và  . SAB Tính giá trị của biểu thức 13 10. T EI EK  

Câu 13. (2,0 điểm) Cho dãy số   n u xác định bởi 1 2 u  và   2 * 1 2 1 , . n n nu n u n n n     

a) Chứng minh dãy số   n u là dãy số tăng.

b) Chứng minh 2026 3 2025 2026 1 2 ... 3.2 . 1 2 3 2025 2026 u u u u u T       

-----------------HẾT----------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh:……………………………………...Số báo danh:…………………………... Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 1: Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 2: