Đề chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 11 năm 2025 - 2026 sở GDĐT Thái Nguyên

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN

ĐỀTHI CHÍNH THỨC

KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2025 - 2026 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đềthi có 02 trang, gồm 07 câu)

Bài 1. (5,0 điểm) a) Giải phương trình sin4 x + cos4 x = 3

4 + 1

4 cos x. b) Cho các sốthực a, b lớn hơn 1 thỏa mãn loga(ab2) = 5. Tính giá trịcủa biểu thức P = logab(a5b2).

Bài 2. (4,0 điểm) a) Giải bất phương trình 16x −5 · 12x + 4 · 9x ≤0.

b) Xét tính liên tục của hàm sốf(x) =

(√

x2+3−3√7−x

x+1 nếu x ̸= −1 1 nếu x = −1 tại điểm x = −1.

Bài 3. (2,0 điểm) Một đội tuyển học sinh giỏi môn Toán có 12 học sinh, trong đó có 3 bạn có tên là Học, Sinh, Giỏi. Xếp tùy ý 12 học sinh đó vào một dãy có 12 chiếc ghếđược đánh số từ1 đến 12. Mỗi ghếđược đánh một số, không có hai ghếnào được đánh sốgiống nhau. Mỗi ghếchỉcó đúng một học sinh ngồi và không có học sinh nào không ngồi vào ghế. Tính xác suất của biến cốA: "Sốghếcủa Sinh bằng trung bình cộng sốghếcủa Học và sốghếcủa Giỏi". Biết rằng, trong 12 học sinh đó không có hai học sinh nào có tên trùng nhau và 12 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang.

Bài 4. (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. a. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (AHK). b. Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng CD và mặt phẳng (AHK).

Bài 5. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệtọa độOxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 −2x − 4y + 3 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến lần lượt cắt hai trục Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân.

Bài 6. (2,0 điểm) a) Cho dãy số(un) xác định bởi u1 = 3 và un+1 = 3un −2, ∀n ≥1. Tìm công thức tổng quát của dãy sốđã cho. b) Cho dãy sốnguyên dương (xn) là một dãy tăng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i. Sốhạng đầu tiên x1 không chia hết cho 5. ii. Hiệu x3 n+1 −x3 n luôn chia hết cho 5n với mọi n ≥1. Chứng minh rằng x3 n+1 −x3 n > 125n, ∀n ≥1.

Bài 7. (1,0 điểm). Xác định tất cảcác đa thức P(x) hệsốthực thỏa mãn

P(x2) + P(y2) + P(z2) = 2[P(xy) + P(yz) + P(zx)]

với mọi x, y, z ∈R và x + y + z = 0.

1