Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025 - 2026 phường Phú Mỹ - TP HCM

ỦY BAN NHÂN DÂN

PHƯỜNG PHÚ MỸ

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2025 - 2026

MÔN: TOÁN Ngày thi: 02 tháng 02 năm 2026 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề Bài 1 (6,0 điểm).

a) Cho ba số thực dương , , a b c thỏa mãn 1. a b c + + = Tính . a bc b ca c ab P a b b c c a + + + = + + + + +

b) Cho hai số thực ,a b thỏa mãn 2 a b + = và 1 1 6. a b + + + = Tính 3 3. S a b = +

c) Giải phương trình ( )

2 3 3 10. x x x x + + + + − =

Bài 2 (4,0 điểm).

a) Cước điện thoại y (nghìn đồng) là số tiền mà người sử dụng điện thoại cần trả hằng tháng, nó phụ thuộc vào thời gian gọi x (phút) của người đó trong tháng. Mối liên hệ giữa hai đại lượng này là một hàm số bậc nhất y ax b = + với ,a b là các hệ số thực và 0. a ≠ Trong tháng 11/ 2025, nhà bạn An gọi 100 phút và trả số tiền là 40 nghìn đồng, còn tháng 12 / 2025 thời gian gọi là 40 phút thì phải trả số tiền 28 nghìn đồng. Tháng 01/ 2026 nhà bạn An sử dụng 120 phút gọi, tính số tiền nhà bạn An phải trả tháng 01/ 2026.

b) Một cái bục có mặt cắt là hình vuông ABCD độ dài cạnh bằng 1 m được kê sát vào bức tường. Một người muốn đặt cái thang một đầu ở mặt đất tại điểm M và đầu kia tại điểm N trên tường sao cho thang đó tựa vào vị trí đỉnh C của bục (như hình minh họa bên). Chiều dài của thang ngắn nhất bằng bao nhiêu mét để có thể làm được điều này? Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác ( ) ABC AB AC < có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn ( ). O Các đường cao , BE CF của tam giác ABC cắt nhau tại . H Hai đường thẳng , EF BC cắt nhau tại . K Đường thẳng qua K và vuông góc với BC cắt đường thẳng BE tại . P Đường thẳng AH cắt ( ) O tại D khác . H a) Chứng minh . . KB KC KE KF = và ba điểm , , P D C thẳng hàng. b) Đường thẳng qua H và song song với EF cắt BC tại .I AK cắt đường tròn ( ) O tại

điểm S khác .A Chứng minh SI là tiếp tuyến của đường tròn ( ). O Bài 4 (3,0 điểm). Gọi S là tập hợp các số nguyên dương viết được dưới dạng tổng của hai số chính phương.

a) Chứng minh nếu m và n là hai phần tử của tập hợp S thì mn cũng là một phần tử của .S

b) Chứng minh nếu k là một phần tử của S và k chia hết cho 13 thì 13 k cũng là một phần

tử của .S Bài 5 (2,0 điểm). Giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán giao n bài tập cho đội tuyển. Sau khi khảo sát, giáo viên này nhận thấy:

+ Mỗi bài tập có đúng 3 học sinh giải được; + Hai bài tập bất kỳ thì có đúng một học sinh giải được cả hai bài tập này; + Không có học sinh nào giải được hết cả n bài tập. a) Chứng minh 8 n = không thỏa mãn yêu cầu của bài toán. b) Với 7, n = hãy chỉ ra một trường hợp thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

_____Hết_____

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh........................................................................ Số báo danh ................................ Chữ kí của giám thị 1 .................................................................

2

ỦY BAN NHÂN DÂN

PHƯỜNG PHÚ MỸ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2025 - 2026

MÔN: TOÁN

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

(Hướng dẫn chấm có 05 trang) Bài 1 (6,0 điểm).

a) Cho ba số thực dương , , a b c thỏa mãn 1. a b c + + = Tính . a bc b ca c ab P a b b c c a + + + = + + + + +

b) Cho hai số thực ,a b thỏa mãn 2 a b + = và 1 1 6. a b + + + = Tính 3 3. S a b = +

c) Giải phương trình ( )

2 3 3 10. x x x x + + + + − =

Câu Nội dung Điểm

a (2,0 điểm)

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( ). a bc a a b c bc a a b c a b a b a c + = + + + = + + + = + + 0,5

Suy ra ( )( ) . a b a c a bc a c a b a b + + + = = + + + 0,5

Tương tự cũng có ; . b ca c ab b a c b b c c a + + = + = + + + 0,5

Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2. P a c b a c b a b c = + + + + + = + + = 0,5

b (2,0 điểm)

Ta có ( )( ) 1 1 2 1 1 6 a b a b + + + + + + = hay 4 2 1 6 ab a b + + + + = 0,5

3 1 ab + = hay 2. ab = − 0,5 Khi đó ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 S a b a ab b a ab b = + − + = − + 0,5

( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 3 2 20. S a b ab   = + − = − − =   0,5

c (2,0 điểm)

Điều kiện 0. x ≥ Ta có ( )( ) ( ) 3 3 3 3. x x x x x x + + + − = + …