Đề Olympic Toán THCS lần 2 năm 2025 - 2026 trường chuyên Nguyễn Trãi - Hải Phòng

SỞ GDĐT HẢI PHÒNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN

NGUYỄN TRÃI

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN NGUYỄN TRÃI LẦN THỨ II

NĂM HỌC 2025 - 2026

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi gồm có 02 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Có hai hộp đựng bóng. Hộp thứ nhất chứa 6 quả bóng màu đỏ, được đánh

số từ 1 đến 6; hộp thứ hai chứa 8 quả bóng màu xanh, được đánh số từ 1 đến 8.

Bạn Hưng rút ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp thứ nhất, còn bạn Mai rút ngẫu

nhiên một quả bóng từ hộp thứ hai. Hãy tính xác suất để số trên quả bóng mà

Hưng chọn lớn hơn số trên quả bóng mà Mai chọn.

b) Trong một nhà xưởng, người ta sử dụng một robot dọn dẹp để cuốn gọn

một sợi dây cáp dài 6m. Một đầu của sợi dây cáp được cố định tại điểm A của một

thiết bị có dạng tam giác đều cạnh 1m. Ban đầu, robot giữ đầu còn lại của dây tại

điểm D sao cho sợi dây luôn căng và ba điểm D, A, B thẳng hàng theo thứ tự đó

(như hình minh họa). Sau đó, robot di chuyển theo chiều kim đồng hồ xung quanh

thiết bị, luôn giữ cho sợi dây căng trong suốt quá trình để tránh bị rối. Hãy tính

độ dài quãng đường mà robot đã di chuyển cho đến khi sợi dây cáp được quấn kín

hoàn toàn quanh thiết bị, biết rằng vị trí của thiết bị không thay đổi trong suốt quá

trình robot di chuyển.

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình

2 2 2 2

2 2

. 2 3

2 1 2 1 1

x y x xy y x y

x y y x x y

 + + + + = +    − + + + + = + + 

b) Cho hai số thực ,a b thỏa mãn

2 2 1 . 0. ab ab a b b a + + + + + = Tính

giá trị biểu thức

2 2 . S b a b a b a = + + +

Câu 3 (3,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O sao cho CD không phải

đường kính. Đường thẳng AD và BC cắt nhau tại P sao cho A nằm giữa D và

P , B nằm giữa C và . P Giả sử tam giác PCD nhọn và có trực tâm là . H Đường

thẳng qua H và song song BD cắt BC tại E . Đường thẳng qua H song song

AC cắt AD tại F .

a) Gọi I là giao điểm của AC và . BD Chứng minh rằng . . . IA PC ID PA =

b) Gọi HE cắt AC tại J , HF cắt BD tại . Q Chứng minh rằng JQ // . EF

c) Đường thẳng qua E vuông góc BC cắt AD tại , L đường thẳng qua F

vuông góc AD cắt BC tại . K Chứng minh rằng , , L O K thẳng hàng.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực dương , , . a b c Chứng minh rằng

1. a b b c c a b c c a c a a b a b b c     + + +      + + + + + +    

Câu 5 (2,0 điểm).

a) Cho p là một số nguyên tố lẻ và các số nguyên dương , , a b c đôi một

phân biệt thỏa mãn các số 1, 1, 1 ab bc ca + + + đều chia hết cho .p Chứng minh

rằng 3 6. a b c p + +  +

b) Cho 16 điểm xếp thành lưới 4 4  gồm bốn hàng, mỗi hàng có bốn điểm,

trong đó khoảng cách giữa hai điểm kề nhau trên cùng một hàng hoặc một cột bất

kỳ đều bằng 1 đơn vị. Hai bạn Việt và Nam chơi một trò chơi như sau: mỗi bạn

luân phiên tô màu một điểm chưa được tô trong 16 điểm đã cho, Việt chơi trước

và tô màu đỏ sao cho hai điểm đỏ bất kỳ có khoảng cách khác 5 đơn vị; Nam

chơi sau và tô màu xanh. Tìm số điểm lớn nhất mà Việt chắc chắn có thể tô được.

-----Hết-----

Họ và tên thí sinh: …………………………Số báo danh: ……………………….

Chữ ký của giám thị 1: …………………….Chữ ký của giám thị 2: …………….