Đề thi Olympic chuyên Toán THCS lần 3 năm 2026 trường chuyên Hạ Long - Quảng Ninh

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠLONG

(Đềthi có 02 trang)

CUỘC THI OLYMPIC CÁC MÔN CHUYÊN

DÀNH CHO HỌC SINH THCS LẦN THỨIII, NĂM 2026

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút, không kểthời gian giao đề

Câu 1: (4 điểm)

a. (2 điểm) Cho các sốthực a, b, c thỏa mãn a + b + c ̸= 0 và (b + c)(c + a)(a + b) = 10. Tính

giá trịcủa biểu thức:

P = 1 a2(a + b + c) + 10 + abc + 1 b2(a + b + c) + 10 + abc + 1 c2(a + b + c) + 10 + abc.

b. (2 điểm) Giải phương trình:

x2 + 3x = (1 −x). √

−3x.

Câu 2: (4 điểm)

a. (2 điểm) Cho các sốthực dương a, b, c có tổng bằng 2. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức:

S =

r

ab ab + 2c +

r

bc bc + 2a + r ca ca + 2b.

b. (2 điểm) Có bao nhiêu đa thức P(x) bậc hai, hệsốnguyên, có hai nghiệm nguyên phân

biệt và thỏa mãn P(0) = 2026?

Câu 3: (7 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Lấy điểm M trên cạnh AB, điểm N trên cạnh AC;

các điểm P và Q trên cạnh BC sao cho MNPQ là hình chữnhật. Đường thẳng qua A và vuông

góc với AB cắt NP tại K. Đường thẳng qua A và vuông góc với AC cắt MQ tại L.

a. (2 điểm) Chứng minh rằng KLMN là hình chữnhật.

b. (3 điểm) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; BH cắt MQ tại U, CH cắt NP tại V .

Chứng minh rằng \ HUV = [ ALK.

c. (2 điểm) Gọi X là giao điểm của LP và QK; Y là giao điểm của LC và BK. Chứng minh

XY, BC, AH đồng quy.

Câu 4: (3.5 điểm)

a. (1.5 điểm) Tìm tất cảcác cặp sốnguyên (x; y) thỏa mãn x2 + y2 −2x + y = 9.

b. (2 điểm) Cho p là sốnguyên tốthỏa mãn p ≡3 (mod 4) và a, b là các sốtựnhiên. Chứng

minh rằng nếu p là ước của a2 + b2 thì p là ước của cảa và b.

1

Câu 5: (1.5 điểm) Cho một bảng ô vuông kích thước 7 × 8 (gồm 7 hàng, 8 cột) như hình vẽ. Các

đỉnh của các ô vuông đơn vịgọi là các điểm nút.

a. Có bao nhiêu hình chữnhật có 4 đỉnh là các điểm nút và có các cạnh song song (có thể

trùng) với các cạnh của bảng? Hình vẽtrên minh họa một hình chữnhật như vậy.

b. Chọn ngẫu nhiên một hình chữnhật thỏa mãn điều kiện ởcâu a, tính xác suất đểhình chữ

nhật được chọn là hình vuông.

———— HẾT ————

Thí sinh không được sửdụng tài liệu và ĐƯỢC sửdụng máy tính cầm tay.

Cán bộcoi thi không giải thích gì thêm.

2

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠLONG

(Hướng dẫn có 6 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC CÁC MÔN CHUYÊN

DÀNH CHO HỌC SINH THCS LẦN THỨIII

Môn thi: Toán

Câu Sơ lược lời giải Điểm

1a (2 đ) Cho các sốthực a, b, c thỏa mãn a + b + c ̸= 0 và (b + c)(c + a)(a + b) = 10. Tính

giá trịcủa biểu thức:

P = 1 a2(a + b + c) + 10 + abc+ 1 b2(a + b + c) + 10 + abc+ 1 c2(a + b + c) + 10 + abc.

Lời giải: Từgiảthiết, thay 10 bởi (a + b)(b + c)(c + a) ta được

a2(a + b + c) + 10 + abc

= a2(a + b + c) + (a + b)(b + c)(c + a) + abc

= a(a2 + ab + ac + bc) + (a + b)(b + c)(c + a)

= a(a + b)(a + c) + (a + b)(b + c)(c + a)

= (a + b)(a + c)(a + b + c)

nên 1 a2(a + b + c) + 10 + abc = b + c (a + b)(b + c)(c + a)(a + b + c),

1

suy ra P = 2(a + b + c) (a + b + c)(b + c)(c + a)(a + b) = 2

10 = 1

5. Vậy P = 1

5.

1

1b (2 đ) Giải phương trình: x2 + 3x = (1 −x).√−3x.

Lời giải: Điều kiện xác định: x ≤0. Bình phương hai vếta được

(x2 + 3x)2 = (1 −x)2.(−3x) ⇔x4 + 6x3 + 9x2 = −3x(x2 −2x + 1)

⇔x4 + 9x3 + 3x3 + 3x = 0 ⇔



x = 0

x3 + 9x2 + 3x + 3 = 0.

0.5

Phương trình thứhai tương đương với 2(x3 + 3x2 + 3x + 1) = x3 −3x2 + 3x −1

⇔2(x + 1)3 = (x −1)3

⇔ 3√

2(x + 1) = (x −1)

⇔x = −1 − 3√

2

3√

2 −1 = 1 + 3√

2 1 − 3√

2.

1

Thửlại, cảhai nghiệm đều thỏa mãn. Vậy phương trình có hai nghiệm x =

0; x = 1 + 3√

2 1 − 3√

2.

0.5

1