Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2025 - 2026 sở GDĐT Gia Lai

Š Lời giải đềthi HSG cấp tỉnh Hướng tới Chuyên

d Câu 1:

1 Cho biểu thức

A = x + 4√x + 4

x + √x −2 −x + √x

x −1

: 1 √x + 1 + 1 √x −1

, với x > 0, x ̸= 1.

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm tất cảcác giá trịnguyên của x để

A ⩾ √

1013 + √

2026 √

2026 .

2 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho điểm M(1; 3) và đường thẳng d : y = ax + b với a > 0. Tìm các giá trịa, b đểđường thẳng d đi qua điểm M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B (A, B khác gốc tọa độ) sao cho

OA + OB = √

2 AB.

Lời giải.

a) Ta có

A = x + 4√x + 4

x + √x −2 −x + √x

x −1

: 1 √x + 1 + 1 √x −1

= (√x + 2)2

(√x −1)(√x + 2) − √x(√x + 1) (√x −1)(√x + 1)

: √x + 1 + √x −1

(√x + 1)(√x −1)

= 2 √x −1

. (√x −1)(√x + 1)

2√x

= √x + 1 √x

b) Ta cần tìm x nguyên sao cho

1 + 1 √x = A ⩾ √

1013 + √

2026 √

2026 = 1 + 1 √

2 ⇔√x ⩽ √

2 ⇔0 < x ⩽2

Mà x ̸= 1 nên x = 2 là giá trịnguyên duy nhất thỏa mãn.

c) Vì d đi qua điểm M(1; 3) nên a + b = 3 ⇔b = 3 −a. Bây giờta đểý vì d cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B nên:

OA = b a

= 3 −a

a

.

Và OB = |b| = |3 −a|.

Áp dụng định lý Pythago cho tam giác OAB vuông tại O ta được:

AB = √

OA2 + OB2 =

r

(3 −a)2

a2 + (3 −a)2 = |3 −a|

a . √

a2 + 1 (Vì a > 0).

® Liên minh Hùng Vương- Chi Lăng 2

Š Lời giải đềthi HSG cấp tỉnh Hướng tới Chuyên

Theo đềbài ta có

OA + OB = AB. √

2

⇔|3 −a|

a + |3 −a| = √

2.|3 −a|

a

√

a2 + 1 (∗)

TH1: a = 3. Khi đó b = 0 thì y = 3x thì loại do đi qua gốc tọa độ. TH2: a ̸= 3

1 a + 1 = √

a2 + 1

a ⇔a + 1 = √

2. √

a2 + 1

⇔a2 + 2a + 1 = 2a2 + 2 ⇔(a −1)2 = 0 hay a = 1, b = 2

c

® Liên minh Hùng Vương- Chi Lăng 3

Š Lời giải đềthi HSG cấp tỉnh Hướng tới Chuyên

d Câu 2:

1 Giải phương trình x2 −17x + 40 + 10 √

x −1 = 0.

2 Cho S là tập hợp các sốtựnhiên gồm có ba chữsốvà bốn chữsố. Chọn ngẫu nhiên một sốthuộc tập hợp S. Tính xác suất đểchọn được sốcó chữsốtận cùng bằng 1 và chia hết cho 7.

Lời giải.

a)

x2 −17x + 40 + 10 √

x −1 = 0 (1)

ĐKXĐ: x ⩾1. Từ(1) suy ra

x2 −2x + 1 −15x + 39 + 10 √

x −1 = 0

⇔(x −1)2 −15(x −1) + 24 + 10 √

x −1 = 0.

Đặt a = √

x −1, a ⩾0. Khi đó

a4 −15a2 + 10a + 24 = 0.

Ta có

a4 −15a2 + 10a + 24 = a4 + a3 −a3 −a2 −14a2 −14a + 24a + 24

= a3(a + 1) −a(a + 1) −14a(a + 1) + 24(a + 1)

= (a + 1)(a3 −a −14a + 24)

= (a + 1)(a3 −a2 −14a + 24).

Tiếp tục phân tích

a3 −a2 −14a + 24 = a3 −2a2 + a2 −2a −12a + 24

= a2(a −2) + a(a −2) −12(a −2)

= (a −2)(a2 + a −12) = (a −2)(a −3)(a + 4).

Vậy

(a −3)(a + 4)(a + 1)(a −2) = 0.

Do a ⩾0, suy ra a = 2 hoặc a = 3.

a = 2 ⇒x = 5, a = 3 ⇒x = 10.

b) Ta tính không gian mẫu, sốphần tửcủa S Sốcác sốtựnhiên có 3 và 4 chữsốlần lượt là 900 và 9000. |S| = 9900.

Sốcác bội của 7 bé hơn 100 và 10000 lần lượt là 14 và 1428.

® Liên minh Hùng Vương- Chi Lăng 4

Š Lời giải đềthi HSG cấp tỉnh Hướng tới Chuyên

Suy ra sốcác sốcó 3 hoặc 4 chữsốlà bội của 7 là

1428 −14 = 1414.

Xét các sốcó 3 chữsố, tận cùng là 1 và chia hết cho 7 Viết sốdạng ab1 với a ∈{1, . . . , 9}, b ∈ {0, . . . , 9}. 100a + 10b + 1 ≡0 (mod 7)

⇔2a + 3b + 1 ≡0 (mod 7)

⇒2a + 3b + 1 ∈{7, 14, 21, 28, 35, 42}.

Đếm được 9 cặp (a, b) thỏa mãn. Xét các sốcó 4 chữsố, tận cùng là 1 và chia hết cho 7. Viết sốdạng abc1 với a ∈{1, . . . , 9}, b, c ∈ {0, . . . , 9}. Tương tự, sốcặp (a, b, c) thỏa mãn là 129 Vậy xác suất cần tìm là

P = 129 + 9

9900 = 138

9900 = 23 1650

c

® Liên minh Hùng Vương- Chi Lăng 5