Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2025 - 2026 xã Tống Sơn - Thanh Hóa

UBND XÃ TỐNG SƠN

(Đề khảo sát gồm có 01 trang)

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC: 2025-2026

MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I: (4,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức

2 2

2 2 2 12 10 : 3 3 3 9 3 x x x x A x x x x x    − + + − = − − + −    + − − −   

với 3 x ≠± .

2) Cho các số thực ??; ??; ?? thỏa mãn: ??+ ??= ?? và ??2 = 2(??−??+ 1)(??+ ??−1). Tính giá trị biểu thức: B = x2026 + y2026 + z2026. Câu II: (4,0 điểm) 1) Tìm dư của phép chia đa thức P(x) cho (x −1)(x3 + 1) biết P(x) chia cho x −1 thì dư 1, P(x) chia cho x3 + 1 thì dư ??2 + ??+ 1 2) Giải phương trình 2 ( ) ( 1)( 1) x y x y + = − + Câu III: (4,0 điểm).

1) Tìm các cặp số nguyên ( ) ;x y sao cho: 2 2 3 2 2 2 40 0 x y xy x y − − − − + =

2) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn 1 1 1. 3 2 a b c − = Chứng minh: 2 2 2 9 4 a b c + +

là số chính phương. Câu IV: (6,0 điểm): 1) Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại , O M là điểm bất kì thuộc cạnh BC ( M khác , B C ). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho

BE CM = . a. Chứng minh: OEM ∆ vuông cân. b. Chứng minh: // ME BN . c. Từ C kẻ ( ) CH BN H BN ⊥ ∈ . Chứng minh rằng ba điểm , , O M H thẳng hàng

2) Một người đo chiều cao của một cây nhờ một cọc chôn xuống đất, cọc cao 2m và đặt xa cây 15m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 0,8m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi cây cao bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1,6m?. Câu V: (2,0 điểm):

1) Một chiếc hộp đựng 51 tấm thẻ như nhau được ghi các số tự nhiên từ 10 đến 60. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để rút được tấm thẻ mà tổng các chữ số ghi trên tấm thẻ là một số chẵn. 2) Cho hai số thực 0 x > ; 0 y > thỏa mãn 3 x y ≥ −. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = 2x2 + y2 + 28

x + 1

y + 2023

-------------HẾT--------------

(Giám thị không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: .......................................................... SBD: ........................

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

UBND XÃ TỐNG SƠN

HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC: 2025-2026

MÔN: TOÁN 8

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu NỘI DUNG Điểm

Câu I

(4,0)

1) Rút gọn biểu thức

2 2

2 2 2 12 10 : 3 3 3 9 3 x x x x A x x x x x    − + + − = − − + −    + − − −   

với 3 x ≠±

.

2,0

ĐKXĐ: 3 x ≠±

2 2

2 2 2 12 10 : 3 3 3 9 3 x x x x A x x x x x    − + + − = − − + −    + − − −   

( )( )

( )( ) 2 2 3 3 2 2 12 10 : 3 3 3 3 3 3

x x x x x x x x x x x x

  + −   − + + − = + − −      + − − + − −    

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 3 2 3 12 9 10 : 3 3 3

x x x x x x x x x x

  − − + + + − + −− +   =   − + −  

( )( )

2 2 2 2 2 5 6 5 6 12 9 10 : 3 3 3 x x x x x x x x x x

  − + + + + − − −− + =     − + −  

( )( ) ( )

2 . 3 3 3 x x x x = − − +

2

3 x x = +

Vậy A

2

3 x x = + với 3 x ≠±

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

2) Cho các số thực ; ; x y z thỏa mãn: x y z + = và ( )( ) 2 2 1 1 x x z x y = − + + − .

Tính giá trị biểu thức: B = x2026 + y2026 + z2026.

2,0

Ta có:

x z y

x y z x y z

z y x

− = −   + = ⇒ + =  − = 

Thay vào biểu thức: Ta được:

0,5

( )( ) 2 2 1 1 x x z x y = − + + −