Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2025 - 2026 xã Điền Lư - Thanh Hóa

UBND XÃ ĐIỀN LƯ PHÒNG VĂN HÓA- XÃ HỘI

Đề chính thức.

KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2025- 2026

Môn thi: Toán - Lớp 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức:

2

2 2 3 3 1 1 : 3 3 9 3 2 x x x x A x x x x   + −   = + + −    + − − −    

(với

3, 1 x x ≠± ≠−)

Câu 2: ( 2,0 điểm) Cho 2 2 2 7; 23; 3 x y z x y z xyz + + = + + = =

Tính: 1 1 1 6 6 6 H xy z yz x zx y = + + + − + − + −

Câu 3: ( 2,0 điểm) Tìm x, biết: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 4 1 6 6 5 x x x x + + − = − +

Câu 4: ( 2,0 điểm) Một hộp đựng 20 quả bóng trong đó chỉ có 4 quả màu xanh, 5 quả màu trắng, 6 quả màu vàng và các quả còn lại khác màu nhau . Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 quả bóng. Tính xác suất để lấy được hai quả bóng cùng màu. Câu 5: ( 2,0 điểm) Cho , a b là các số nguyên thỏa mãn

( ) ( ) 5 5 2 2 2026 3 2 1 a ab b ab + + − = + .Chứng minh a b + chia hết cho 5.

Câu 6:(1,5 điểm) Một cửa hàng thời trang nhập về một số áo với giá vốn là 185.000 đồng/cái. Tuần thứ nhất, cửa hàng bán được một nửa số lượng áo, mỗi áo lời được

38% so với giá vốn. Tuần thứ hai, cửa hàng bán 3 5 số áo còn lại với giá vốn. Tuần

thứ ba, cửa hàng bán hết số áo còn lại với giá bằng 85% giá vốn. Sau khi thống kê thì cửa hàng thu lợi nhuận từ việc bán hết số áo trên là 7.696.000đồng. Hỏi cửa hàng đã nhập về bao nhiêu cái áo?

Câu 7: (1,5 điểm) Hai cây cọ được trồng vuông góc và đối diện nhau ở hai bờ sông,

một cây cao 30m một cây cao 20m. Trên đỉnh mỗi cây có 1 con chim đang đậu. Chợt

có 1 con cá xuất hiện trên mặt sông giữa 2 cây cọ. Cả hai con chim lập tức bay xuống

vồ mồi với cùng 1 vận tốc va chạm con cá một lúc. Hỏi con cá cách 2 gốc cây bao

nhiêu mét biết rằng hai gốc cây cách nhau 50m?

Câu 8: ( 5,5 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên cạnh BC lấy điểm M (khác B,C), qua điểm A kẻ tia Ax vuông góc với AM cắt tia CD tại điểm F.

1) Chứng minh rằng AM = AF

2) Trên cạnh CD lấy điểm N sao cho , gọi giao điểm của AM,AN với BD lần lượt tại Q và P ; gọi I là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh AI MN ⊥ tại H. 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN khi M,N thay đổi.

Câu 9: ( 1,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương: ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:

2 2 2 1 3 1 3 1 3 6 1 1 1 a b c b c a + + + + + ≥ + + + .

----------------- HẾT ----------------

Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ...................................................... Số báodanh:.........................

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM: TOÁN 8 Câu ĐÁP ÁN Điểm

1

Rút gọn biểu thức:

2

2 2 3 3 1 1 : 3 3 9 3 2 x x x x A x x x x   + −   = + + −    + − − −    

(với

3, 1 x x ≠± ≠−)

2 điểm

Với ĐK 3, 1 x x ≠± ≠−

Ta có

2

2 2 3 3 1 1 : 3 3 9 3 2 x x x x A x x x x   + −   = + + −    + − − −    

=

2 2 3 3 2( 1) ( 3) : 3 3 ( 3)( 3) 2( 3) x x x x x x x x x x   + − − − + −   + − − + −  

2 2 ( 3) ( 3) (3 3) 2 2 3 : ( 3)( 3) 2( 3) x x x x x x x x x x − + + − + − − + = − + −

2 2 2 2 6 3 3 3 1 : ( 3)( 3) 2( 3) x x x x x x x x x − + + − − + = − + −

3 3 2( 3) 3( 1) 2( 3) 6 . . ( 3)( 3) 1 ( 3)( 3) 1 3 x x x x x x x x x x x − − − − + − − = = − + + − + + +

Vậy 6 3 P x − = + với 3, 1 x x ≠± ≠−

0.5

0.5

0.25

0.25

0.25

2 Cho 2 2 2 7; 23; 3 x y z x y z xyz + + = + + = = .

Tính: 1 1 1 6 6 6 H xy z yz x zx y = + + + − + − + −

2 điểm

Ta có:

( )( )

7 7

6 ( 7) 6 1 1 1

x y z z x y

xy z xy x y xy x y x y

+ + = ⇒ = −− +

⇒ + − = + −− + − = − − + = − −

Tương tự ta có ( )( ) 6 1 1 yz x y z + − = − − ; ( )( ) 6 1 1 zx y z y + − = − −

( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 H x y y z z x = + + − − − − − −

( )( )( ) 1 1 1 1 1 1 z x y x y z −+ −+ − = − − −

0.5

0.25