Đề chọn học sinh giỏi Toán 8 năm 2025 - 2026 xã Nga An - Thanh Hóa

UBND XÃ NGA AN PHÒNG VĂN HÓA-XÃ HỘI

(Đề có 01 trang, gồm 10 câu)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP XÃ

Năm học: 2025 - 2026

Môn: Toán 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: tháng 4 năm 2026

Câu 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức 3 2 4 1 8 : 1 1 1 1 x x P x x x x − −    = + −    − − + +    với 1 x ≠

Câu 2: (2 điểm) Cho , , a b c khác 0 thỏa mãn 1 1 1 1 1 1 2 a b c b c c a a b       + + + + + = −             và

3 3 3 1 a b c + + = . Tính giá trị biểu thức: 1 1 1 Q a b c = + +

Câu 3: (2 điểm) Tìm x biết: ( )( ) 2 2 2 6 5 2 3 1 x x x − + − =

Câu 4: (2 điểm) Trong một bài thi trắc nghiệm môn Toán có 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 lựa chọn A; B; C; D. Nếu chọn đúng được 0,2 điểm. Bạn Bắc đã trả lời chắc chắn đúng 44 câu hỏi thì gần hết thời gian nên đành chọn ngẫu nhiên đáp án của 6 câu cuối. Tính xác suất để bạn Bắc đạt điểm tối đa. Câu 5: (2 điểm) Tìm các số nguyên , , x y z thỏa mãn: 2 2 2 2 2 3 6 2 3 24 15 + + + − = − x y z y z x .

Câu 6: (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( , ) a b sao cho:

2 1 1 a b a + + và 1 1 a b + − là

các số nguyên. Câu 7: (1 điểm) Ông X có mảnh vườn hình vuông ABCD cạnh bằng 10 m với E, G, F, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Từ một điểm I bên trong mảnh vườn ông chia vườn thành bốn phần như hình vẽ, phần tô đen nhỏ có diện tích 8 2 m dùng để trồng cỏ, phần tô đen còn lại dùng để trồng hoa. Biết rằng mỗi 2 m trồng cỏ hết 80 nghìn đồng, mỗi 2 m trồng hoa hết 120 nghìn đồng. Hỏi ông X cần bao nhiêu tiền để thực hiện trang trí mảnh vườn đó. Câu 8: (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Các tia phân giác của  , EHB DHC cắt , AB AC lần lượt tại I và K . a) Chứng minh AI AK = . b) Qua I và K lần lượt vẽ các đường vuông góc với AB và AC chúng cắt nhau tại M . Giả sử hai đỉnh , B C cố định, đinh A thay đổi. Chứng minh đường thẳng HM luôn đi qua một điểm cố định Câu 9: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC , I là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Qua

I vẽ đường thẳng DE song song với AB ( D AC ∈ , E BC ∈ ) và đường thẳng IM song

song với BC ( M AC ∈ ). Tính giá trị của biểu thức

2026 ID BE CM AB BC CA   + +    

.

Câu 10: (1,5 điểm) Cho , , a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 . Chứng minh: 2 2 2 2 2 . a b c abc > + + + .................................. Hết ..................................... Họ tên học sinh: .................................................; Số báo danh: ....................................

Đề chính thức

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8 Câu Nội dung cần đạt Điểm

Câu 1 2 điểm

Với 1 x ≠ ta có

2 2

2 2 2 4 1 1 8 : ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 x x x x x x P x x x x x x x x    − + + + + − + = +    − + + − + + + +   

0,5 đ

2 2 2 2

2 2 2 2 4 1 1 8 2 3 9 : : ( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) 1 x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x    − + + + + + − + + − + = =    − + + + + − + + + +   

0,5 đ

2

2 2 2 ( 3)( 1) 1 3 . ( 1)( 1) 9 9 x x x x x x x x x x + − + + + = = − + + + +

0,5 đ

Vậy 1 x ≠ thì 2 3 9 x P x + = + 0,5 đ

Câu 2 2 điểm

Ta có: 1 1 1 1 1 1 2 a b c b c c a a b       + + + + + = −             ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 a b c b c a c a b

abc

+ + + + + ⇔ = −

2 2 2 2 2 2 2 0 a b a c b c b a c a c b abc ⇒ + + + + + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 0 ab a b c a b c a b ⇔ + + + + + =

( )( ) 2 0 a b ab ac bc c ⇔ + + + + =

( )( )( ) 0 a b b c c a ⇔ + + + = .

a b   hoặc b c  hoặc c a 

+ TH1: a b = −. Từ 3 3 3 1 a b c + + = 1 c ⇒ = . Suy ra: 1 1 1 1 Q a b c = + + = .

+ TH2: b c = −. Từ 3 3 3 1 a b c + + = 1 a ⇒ = . Suy ra: 1 1 1 1 Q a b c = + + = .

+ TH3: c a = −. Từ 3 3 3 1 a b c + + = 1 b ⇒ = . Suy ra: 1 1 1 1 Q a b c = + + = .

Vậy: 1 1 1 1 Q a b c = + + = .

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

Câu 3 2 điểm

( )( ) 2 2 2 6 5 2 3 1 x x x − + − =

( )( ) 2 2 2. 2 6 5 4 12 9 1.2 x x x x − + − + =

( )( ) 2 2 4 12 10 4 12 9 2 x x x x − + − + =

Đặt ( ) 2 4 12 9 0 x x t t − + = ≥ . Ta có: ( ) . 1 2 t t + =

2 2 0 t t + − = ( ) ( ) 1 . 2 0 t t − + =

( ) 1 t TM = hoặc …