Đề thi giao lưu Olympic Toán 8 năm 2025 - 2026 cụm trường THCS - Hà Nội

Trường THCS …………………………..…….. Lớp ………………………….. Họ và tên ……………………….………………………………

ĐỀ THI GIAO LƯU OLYMPIC

MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 (4 điểm)

1/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

3 2 2 3 3x 13x y 13xy 3y + + +

2/ Cho

2 2 2

2 3 3 (x 1) 1 2x 4x 1 x x P : x x 1 x 1 x 1 x 8x   − − + + = − +   + + − − +  

với x 0 > ; x 1 ≠. So sánh P với 4

3/ Cho a; b; c là các số thực thỏa mãn: a b c 9 + + = và 2 2 2 a b c 27 + + = .

Tính 2 2 2 A a b b c c a = + +

Bài 2 (4 điểm)

1/ Tìm x biết:

2 2 x 4x 5 x 5x 1 2 x 1 x 1 − − − + + = + +

2/ Tìm hai số nguyên tố p; q thỏa mãn:

2 2 p 2q 1 − =

3/ Cho đa thức P(x) với các hệ số nguyên. Biết P(16) = 35. Chứng minh rằng: P(2) ≠ 9 Bài 3 (5 điểm)

1/ Cho hàm số bậc nhất y (m 2)x 2 = − + với m ≠ 2, có đồ thị là đường thẳng (d). Gọi A và

B lần lượt là giao là giao điểm của (d) với trục Ox và Oy. Tìm m để AB 2 2 =

2/ Số nhà của bạn Hòa là một số tự nhiên không chia hết cho 4 và số đó cộng với tổng các chữ số của nó bằng 2025. Hỏi số nhà bạn Hòa là bao nhiêu.

3/ Trong một hộp kín có 6 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, các viên bi có kích thước, khối lượng và hình dạng như nhau chỉ khác màu sắc. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ trong hộp.

a/ Tính xác suất của biến cố E: “Lấy được viên bi màu đỏ”. b/ Thêm vào hộp một số viên bi màu đỏ, màu xanh sao cho xác suất chọn được một viên bi mỗi màu như biến cố E ở ý a. Hỏi cần thêm ít nhất bao nhiêu viên bi mỗi màu? Bài 4 (6 điểm) Cho ABC ∆ vuông tại A có đường trung tuyến BN. Qua N kẻ đường thẳng song

song với BC cắt AB tại M. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BC tại D, kẻ MH ⊥ BC

tại H.

a/ Chứng minh tứ giác AMDN là hình chữ nhật; tứ giác BMND là hình bình hành.

b/ Gọi K là điểm đối xứng với M qua D. CMR: AH ⊥ HK

c/ Gọi G là giao điểm của AD và BN, O là trung điểm của DN. Chứng minh 3 điểm G; O; C thẳng hàng.

d/ Tia phân giác của ?????? ෣ cắt BN tại E, Tia phân giác của ?????? ෣cắt MD tại F . Chứng

minh EF//GD. Bài 5 (1 điểm)

Cho 2 số nguyên dương a,b thỏa mãn: a b 1 + + là một ước nguyên tố của 2 2 2(a b ) 1 + −

Chứng minh rằng a.b là một số chính phương.

HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (4 điểm)

1/(1,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 2 2 3 3x 13x y 13xy 3y + + +

2/(1,5đ) Cho

2 2 2

2 3 3 (x 1) 1 2x 4x 1 x x P : x x 1 x 1 x 1 x 8x   − − + + = − +   + + − − +  

với x 0 > ; x 1 ≠. So sánh P với 4

3/(1 điểm) Cho a; b; c là các số thực thỏa mãn: a b c 9 + + = và 2 2 2 a b c 27 + + = .

Tính 2 2 2 A a b b c c a = + +

Bài 1: (4 điểm) 1/(1,5 điểm)

3 2 2 3 3x 13x y 13xy 3y + + + 3 3 3( ) 13 ( ) = + + + x y xy x y

2 2 3( )( ) 13 ( ) = + − + + + x y x xy y xy x y

2 2 ( )(3 3 3 13 ) = + − + + x y x xy y xy

2 2 ( )(3 10 3 ) = + + + x y x xy y

2 2 ( )(3 9 3 ) = + + + + x y x xy xy y

( )[3 ( 3 ) ( 3 )] = + + + + x y x x y y x y

( )( 3 )(3 ) = + + + x y x y x y

0,5 0,5 0,5

2/(1,5 điểm) Cho

2 2 2

2 3 3 (x 1) 1 2x 4x 1 x x P : x x 1 x 1 x 1 x 8x   − − + + = − +   + + − − +  

với x 0 > ; x 1 ≠.

So sánh P với 4

2 2 2

2 3 3 (x 1) 1 2x 4x 1 x x P : x x 1 x 1 x 1 x 8x   − − + + = − +   + + − − +  

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 8 ( 1) 1 2 4 1 . 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1

+   − − + + + = − +   + + − + + − + + +  

x x x x x x x P x x x x x x x x x x

3 2 2 2

2 ( 1) (1 2 4 ) ( 1) 8 . ( 1)( 1) 1 − − − + + + + + = − + + + x x x x x x P x x x x

3 2 2 2 2 2

3 3 3 1 1 2 4 1 8 8 . 1 1 1 − + −−+ − + + + + + = = − + + x x x x x x x x x P x x x

Xét ( )

2 2 x 2 x 8 P 4 4 x 1 x 1 − + − = − = + +

Vì x 0 > ; x 1 ≠ nên x + 1 > 0 và ( ) 2 x 2 0 − ≥ ⇒ ( )

2 x 2 0 x 1 − ≥ +

⇒ P – 4 ≥ 0 ⇒ P ≥ 4. Dấu bằng xảy ra khi x = 2 (tmđk)

Vậy với x 0 > ; x 1 ≠ thì P ≥ 4

0,5 0,5 0,5

3/(1 điểm) Cho a; b; c là các số thực thỏa mãn: a b c 9 + + = và 2 2 2 a b c 27 + + =

Tính 2 2 2 A a b b c c a = + +

Ta có: 2 2 2 2 ( ) 2( ) + + = + + + + + a b c a b c ab bc ca

Thay số: 2 9 27 2( ) 81 27 2( ) = + + + ⇒ = + + + ab bc ca ab bc ca

27 ⇒ + + = ab bc ca mà 2 2 2 a b c 27 + + =